無題
無題
ゼル さんの書込 (2005/12/31(Sat) 00:53)
工学部１年のゼルです． 質問 問：１次元シュレティンガー方程式を取り扱うとき，Lだけ進んだら元へ戻る周期境界条件と呼ばれる境界条件(Φ(x+L)=Φ(x))はよく使われる．これは周囲長Lの円周上にある電子に対するシュレティンガー方程式を考えるのと同じである．以下，長さLの周期境界条件のもとで自由電子に対してシュレティンガー方程式を考える．
h'=h/2πとする
-h'^2/2m×d^2Φ(x)/dx^2=EΦ(x)----------?
(1)Φ(x)=Aexpikx((A,Kはパラメタ)の形の解を持つとして，エネルギー固有値E_nと対応する固有関数Φ(x)を求めよ． (2)ド・ブローイの運動量と波長の関係p=h/λを利用し周期境界条件を満たす定在波が許される条件から，(1)で得られたエネルギー固有値が再現できることを示せ．
自分の答え：(2)はよくわかりませんでした．一応，(1)だけは解けたような気がします． (1) d^2Φ(x)/dx^2=-k^2Aexpikxを?に代入すると，E=h'^2k^2/2mとなる．そして，K=nπ/LとおくとE_n=(nπh')^2/2mL^2----(答) そして，Φ(x)=Aexpikxより，Φ(x)=Aexpinπx/L-------(答)
よろしくお願いします．
Re: 無題
篠原 さんのレス (2006/01/03(Tue) 17:58)
ゼルさん，はじめまして． 篠原です．
（１）に関しては，それでよいと思います． （しっかりとは見ていませんが）
（２）については， E=p^2／2m にド・ブロイの関係を代入してから， 「周期的境界条件を満たす定在波の条件」 と言う物を考慮すれば，エネルギー固有値が求まるのでしょう．
ちょうど λ=2L/n という式を用いると，（１）の答えと一致しますが，なぜこの式になるのかは，私はいまいち説明できません． この式は，高校で習う「開管で定在波が起きる時の条件」に一致しています． 管の端が自由端になっているのだから，この管の端と端をつなげて，円状の管にしたら今の問題と同じ条件になるとは思いますが・・・ ヒントになると良いのですが・・・．
中途半端で，申し訳ない． がんばってください．
