satsuma さんの書込 (2005/11/27(Sun) 11:38)

はじめまして．satsumaと申します． 高校２年から物理をはじめまして，大学入試でも物理をとるつもりなのですが， 分からない問題がありまして，質問させてください．

第一学習社のセミナー物理?+?という問題集の問題(問題番号177)です． 水平面上になめらかな溝を持った直線のレールがある．この溝の中に質量M，mの小球A，Bをおき，両者をばね定数kのばねでつないだ．ある瞬間にAに突然右向きに速度vを与えると，その後AとBは振動しながら全体として右向きに進んでいく． (1)重心の速度を求めよ． (2)重心から見た運動は単振動になる．その周期を求めよ． (3)重心から見たBの単振動の振幅を求めよ．

と言う問題です． (1)のヒントとして， 一般に重心の座標x _G はx _G =(m ₁ x ₁ +m ₂ x ₂ )/(m ₁ +m ₂ )で表される．このことから，重心の速度v _G はv _G =(m ₁ v ₁ ＋m ₂ v ₂ )/(m ₁ +m ₂ )で表される．とかかれてあったのですが， 重心の座標は分かりますが，そこからどうしてv _G のような式になるのでしょうか． で，解答には，運動量保存則が成り立つので，v _G =(Mv _A + mv _B )/(M + m)=(Mv + m*0)/(M + m)=Mv/(M+m)とありますが， 私は，運動量保存則が成り立つので，Mv=(M+m)v _G だと思うのです．結果は同じですが，この点はどうなのでしょうか． また，解答は運動量保存則をいっているのにmvという運動量がでてこないのですが，これはどういうことでしょうか．

(2)はイメージができなくて困っているのですが， これも解答によると，重心から右のばねについてのばね定数をk _B とすれば，ばね定数はばねの長さに反比例するので，k _B =(M+m)k/M とあります．フックの法則からF=kxですから，k=F/xで，ばねの長さに反比例することはわかりますが，そこからなぜk _B =(M+m)k/Mという式になるのかが分かりません． ばね定数がわかれば周期は簡単に出せるので良いのですが，ばね定数が出せません．．

(3)は感覚的にですが，答えをみてわかりました． ただ，重心からみてBは単振動するとあるので，良いのですが，肝心なF=-Kxを表す式はどうやって出せばよいのでしょうか．

今，私は一応一通り，力学はならいまして，授業では波動を少しですがやっています．力学は物理?も?も含めてやりました．また，熱力学はやっていません．

長くなってしまって申し訳ありません．もしよろしければ宜しくお願いいたします．

yama さんのレス (2005/11/27(Sun) 23:13)

(1)について 速度は座標を時間で微分したものです．従ってx _G の式を時間で微分すれば，v _G の式になります． 運動量保存則は，Mv _A + mv _B =Mv + m*0 です． 両辺を M+m で割れば，左辺がv _G になるわけです． 重心の運動を考える場合は，重心に全体の質量が集中していると見なせるので， Mv=(M+m)v _G としても同じことです． なお，vはAの初速度であって，Bの速度ではないので運動量保存の式にはmvは出てきません．

(2)について >フックの法則からF=kxですから，k=F/xで，ばねの長さに反比例する

x はばねの長さではなく，ばねの伸びなので，これは間違いです． ここで，「ばね定数はばねの長さに反比例する」というのは，たとえば，ばねを半分に切ると，同じ力を加えたときの伸びが半分になるので，ばね定数が２倍になると見なせるいうことです． 重心の位置で分けて考えると，重心より右側のばねの長さは全体の長さの M/(M+m)倍です．従って重心より右側のばね定数は，全体のばね定数の (M+m)/M倍になります．

(3)について 重心から見たBの運動を考える場合，x は重心より右側のばねの伸びです． すなわち，重心を原点としたときのBの座標から，重心より右側のばねの自然の長さを差し引いたものです． ただし，単振動の振幅を求める場合は，特にＢの座標を用いなくても x を用いて求められます．

satsuma さんのレス (2005/11/28(Mon) 20:12)

大変分かりやすい解答ありがとうございます． (2)について，私は全然見当はずれなことを考えていたのですね．． 間違いを見つけることができまして勉強になりました． mvについては，ちょっと勘違いをしていたので，それも解決できました． ありがとうございました．