無題
無題
蛍 さんの書込 (2005/11/18(Fri) 21:53)
大学一年の蛍です． 高校で物理未履修です．大学の前期で力学の基礎を少しやりました．
レポート問題です． 波動関数はψ(x)={(2/L)^1/2}sin(nπx/L)である． 一次元の箱型ポテンシャル中の自由粒子の運動量ｐおよびｐ^2，位置ｘおよびｘ^2に対するそれぞれの期待値を求めよ
という問題を解いていたのですが，この問題の場合，ｎ＝１，２，・・・などとおくことが出来るのでしょうか？ そうしないと答がものすごく長くなってしまうのですが・・・それとも長くなるのは計算ミスでしょうか？
Re: 無題
cool さんのレス (2005/11/19(Sat) 00:11)
∫sin(mπx/L)*sin(nπx/L)dx=(L/2)*δm,n ∫sin(mπx/L)*cos(nπx/L)dx=0 ∫cos(mπx/L)*cos(nπx/L)dx=(L/2)*δm,n (積分は0からLまで) を用いたらなんとかなると思います．
Re: 無題
蛍 さんのレス (2005/11/19(Sat) 08:38)
その式を使う場面が出てこなかったのですが・・・
この問題を解いていくとその式を使うところが出てくるのでしょうか？
補足に∫ｘ(sinx)^2dx=(x^2/4)-(x/4)sin2x-(1/8)cos2xを用いてよい，と書いてありこれを使ったのですが・・・
Re: 無題
CO さんのレス (2005/11/19(Sat) 12:50)
蛍さん，こんにちは．
> その式を使う場面が出てこなかったのですが・・・ > この問題を解いていくとその式を使うところが出てくるのでしょうか？
まず，蛍さんがどのような解き方をしているのか書いてみてください． :)
Re: 無題
蛍 さんのレス (2005/11/19(Sat) 17:03)
（積分区間は0〜L） <x>=∫ψ*xψdx =L/2∫x(sin(nπ/L)x)^2dx =2/nπ∫t(sint)^dt (t=(nπ/L)x，積分区間は0〜nπ) =1/2(nπ-sin2nπ)-1/4nπ(cos2nπ-1)
x^2なども同様の解き方です．n=1などとできればもう少し答えが短くなるかと思うのですが・・・．
Re: 無題
cool さんのレス (2005/11/19(Sat) 22:17)
質問を勘違いしていたようです．すいません． ｎは正整数です．
Re: 無題
蛍 さんのレス (2005/11/19(Sat) 22:54)
ありがとうございます． ｎが正の整数，というのは問題文になくても用いてよいのでしょうか？ （基本的なことであれば申し訳ありません．レポート問題は大学院生が作っているため，授業の進度とかみ合っていないことが多く，理解ができていない面が多いのです・・・）
Re: 無題
cool さんのレス (2005/11/20(Sun) 00:17)
ψ(L)=0からnの条件は得られるとおもいます．
Re: 無題
山本明 さんのレス (2005/11/20(Sun) 06:40)
蛍さん，はじめまして．
古典力学では，Newtonの運動方程式を解くことで，物体の位置の時間変化を求めます． そして量子力学では，Schrodinger方程式を解くことで，物質の存在確率に関係する波動関数というものを求めます． 「一次元の箱型ポテンシャル中の自由粒子」という条件で，Schrodinger方程式を解くと，波動関数として ψ(x)={(2/L)^1/2}sin(nπx/L) が求められると同時に，nは整数だという条件が出てきます．
院生の方はその辺の事情を端折って書かなかったのか，もしくはcoolさんがおっしゃるように，箱の端で存在確率が０になる→波動関数も０になる…という発想から，nが整数だと見抜かせたいかのどちらかなのでしょう．
問題文で「波動関数は…である」と言い切るならば，nの条件を書かないのは言葉足らずだと私は感じますけど．
Re: 無題
蛍 さんのレス (2005/11/22(Tue) 22:27)
レスが遅くなり申し訳ありません． ご説明ありがとうございます．
ｎが正整数であるとすると， <p^2>=(nhπ/L)^2 <x>=(1/2)nπ <x^2>=(2L/nπ){(nπ)^2/6-1/4}
となりましたが，これでいいのでしょうか？
Re: 無題
蛍 さんのレス (2005/11/23(Wed) 00:16)
訂正です． <x>=L/2 <x^2>=L^2/3
Re: 無題
cool さんのレス (2005/11/23(Wed) 01:41)
<p^2>のhがエイチバーだと思います
