けん さんの書込 (2005/11/05(Sat) 22:05)

全電荷量∫ρｄｘｄｙｄｚがローレンツ変換に対してスカラー量であることを示したいのですが．ローレンツ変換を積分での変数変換だと考えると ヤコビアン＝γ がでてきて． ∫ρ’ｄｘ'ｄｙ'ｄｚ'＝γ^2∫（ρ−ｊ・ｖ／ｃ^2）ｄｘｄｙｄｚ （ｊ，ｖはベクトルでそれぞれ電流密度，KからみたK’の速度） となったんですが． あとはｊ＝ρｖだったらOKなんですが，ｖは単なるK'の速度であってKの電荷が移動している速度ではないですよね？？なのでｊ＝ρｖが結論できず困ってます． どうか助けて下さい．

ｙama さんのレス (2005/11/06(Sun) 13:29)

たぶんρの変換の式が間違っているのだと思います． 普通は，∫ρdxdydzがローレンツ変換に対して不変になるようにρの変換性が決まるのだと思いますが，順序が逆になっているように思います．

R さんのレス (2005/11/07(Mon) 07:43)

粒子の電荷は定義から普変量だからρdVdxiは四元ベクトルです． ρdVdxi=ρdVdt*ji (ji=dxi/dt)より ∫ρdV=(1/c)∫j0dV=(1/c)∫jidSi (積分はx0軸に垂直な四次元超平面全体) dxiが共変ベクトルならばdSiは反変ベクトルだからjidSiはスカラーです．

けん さんのレス (2005/11/07(Mon) 13:12)

返信ありがとうございます．

＞ｙamaさん 変換の式は教科書とも一致しているので合っていると思います．

＞Rさん すいません．ちょっと僕には難しいです・・・． jiとは何を表しているのでしょうか？ なぜρdVdxiという量が出てくるんですか？

yama さんのレス (2005/11/08(Tue) 13:54)

ρ の変換の式は間違ってはいないようですね． しかし，積分の変数変換が間違っているように思います． ローレンツ変換は(x,y,z)と(x',y',z')の間の変換ではなく，時間も含む変換です． 従って，dx'dy'dz'＝[∂(x',y',z')/∂(x,y,z)]dxdydz は成り立ちません． 時間も含めて dx'dy'dz'dt'＝[∂(x',y',z',t')/∂(x,y,z,t)]dxdydzdt とおく必要があります．

けん さんのレス (2005/11/09(Wed) 23:49)

∂(x',y',z',t')/∂(x,y,z,t)を計算したところ１になりました． もう少し頑張っていろいろ計算してみます． どうもありがとうございました．

ｙama さんのレス (2005/11/10(Thu) 11:11)

ローレンツ変換は４次元座標系の回転だから，そのヤコビアンが１になるのは，考えてみれば当たり前でしたね． これを利用して計算すれば確かに ρdV＝ρ'dV' が導かれるようです．

R さんのレス (2005/11/11(Fri) 02:34)

かえって混乱させたようで申し訳ないです． けんさんの指摘通り，ローレンツ変換に対して不変であるのはdVではなくdVdtです．しかし，問題ではρdVのローレンツ不変性を議論しているので， ∫ρdV=(1/c)*∫ρ(dct/dt)dV この式の右辺は共変四元電流べクトルji=(cρ,ρdx/dt,ρdy/dt,ρdz/dt)のj0成分だから以前に書いた式のように変形できます．