等加速度運動の方程式について

等加速度運動の方程式について

ユウ さんの書込 (2005/10/16(Sun) 20:41)

初めまして，３０にして大学受験をしようと思っているユウといいます． すっかり物理の事は忘れており，最近はじめたばかりで，以下の問題でつまづいており 教えていただけないでしょうか？

−問題 なめらかな定滑車に糸を介して質量Ｍの物体Ａと質量ｍの物体Ｂが吊り下げられている． 最初Ｂは水平な底面に，Ａは底面から高さｈの位置にあり，そこからＡは床に向かって落ち始めた． 重力加速度の大きさをｇとしたとき，Ａが床に落下した瞬間のＢの速さはいくらか？

という問題で まず，物体Ａの運動方程式を考えました．

Mg-mg &= Ma \\a &= \frac{M\mathstrut g-m\mathstrut g}{M}

加速度ａを求めて，等加速度運動の方程式から，高さｈ落下した時の速度を求めました．

v^2-v_{0}^2 &= 2a(\mathstrut h-\mathstrut h_{0}) \\v &= \sqrt{2a\mathstrut h}

先ほど求めたａを代入しました．

v &= \sqrt{\frac{2\mathstrut g\mathstrut h(M-m)}{M}}

となるのかなと思ったのですが，解答では，力学的エネルギー保存則を用いて以下の式になっていましたが 何故このような解答になるのでしょうか？

v &= \sqrt{\frac{2\mathstrut g\mathstrut h(M-m)}{M+m}}

Re: 等加速度運動の方程式について

tomo さんのレス (2005/10/16(Sun) 23:31)

ユウさん，初めまして． tomoです．

運動方程式が違っています．それぞれの物体にかかる力は，絵に描かれたでしょうか？ 物体Aには，重力と糸の張力（ T ）がかかっていますよね． 物体Aの運動方程式に mg という項が出てくるのはおかしいはずです．

加速度を a とすると，物体Aの運動方程式は， Ma=Mg-T ですね．物体Bの運動方程式も立てて，連立してみてください．正しい加速度が求まります．

加速度が求まったら，等加速度運動の式を用いても，エネルギー保存則を用いても， 正しい答えが得られるはずです．がんばってください :)

＃物体Bについての"力のつりあいの式"から， T=mg として， ＃物体Aの運動方程式にこの"式"を代入されたのかもしれませんが， ＃この問題では物体Bも動いていますので，力はつりあっていません．

Re: 等加速度運動の方程式について

ユウ さんのレス (2005/10/16(Sun) 23:56)

初めまして，tomoさん．

回答ありがとうございます． 物体Ａの方は絵を書いていたのですが，Ｂの方は楽をしようと書いていませんでした．．． あと，力はつりあっていないんですね． もう一度書いたところ

Mg-T &= Ma
T-mg &= ma

これを物体Ａの方の式に代入すると

M\mathstrut g-ma-m\mathstrut g &= Ma \\a(M + m) &= M\mathstrut g-m\mathstrut g \\a &= \frac{M\mathstrut g-m\mathstrut g}{M+m}

となり

v &= \sqrt{\frac{2\mathstrut g\mathstrut h(M-m)}{M+m}}

となりました． tomoさんありがとうございました．

Re: 等加速度運動の方程式について

tomo さんのレス (2005/10/17(Mon) 00:25)

ユウさん，こんばんは．

良かったです :)

蛇足ですが，

Ma=Mg-T ma=T-mg

から a を求める際，両辺を足してしまうと，（少〜し）計算が速いです． この問題だと素直に代入法でやってもあまり差はないですけどね（笑）． 運動方程式が3つや4つになると，「両辺を足す」というのが有効な場合があります．

また，得られた結果

v=\sqrt{\frac{2gh(M-m)}{M+m}}

を見て，「 M と m の差 M-m が大きいと v も大きい」とか， 「 M と m の差 M-m が小さいと v も小さい」など， 特徴的なケースについて，（自分の感覚と合っているかどうか）考えてみるのも良いです． たとえば，答えが v=\sqrt{\frac{2gh(m-M)}{M+m}} と求まった場合には， なんかおかしいぞ，どこかで間違えたかなと思えます．