無題

7star さんの書込 (2005/08/16(Tue) 04:36)

はじめまして．私は東京大学の理科?類の１年生です．９月に期末試験があるので力学を勉強しているのですが，物理はすごく苦手で全然わかりません・・・．今過去問を解いていたのですが，どうもうまくいかないので教えていただけると助かります．間違いがあれば指摘していただけないでしょうか？

質量の質点が自然長，ばね定数のばねで静止している点Ｏにつながれ，この点Ｏのまわりに角速度ωで回転している．但し， $k>m\omega^{2}$ である．ばねは直線状で，動径方向にしか運動しないものとする． ?ばねが振動していないときのばねのののびはいくらか． ?ばねが振動しているときの振動数はいくらか． ? $k<m\omega^{2}$ のとき，質点はどのような運動をするか．

というものです．?と?はなんとか自力で解けました． ?は $\frac{ml\omega^{2}}{k-m\omega^{2}}$ ?は $\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k-m\omega^{2}}{m}}$ となりました．

?についてなんですが，ばねの長さｒについての微分方程式を立てると

$\frac{d^{2}r}{dt^{2}}+\frac{k-m\omega^{2}}{m}r=\frac{kl}{m}$

となって， $k<m\omega^{2}$ なので，この微分方程式の斉次の解を求めようとすると

$r=Ae^{\sqrt{\frac{m\omega^{2}-k}{m}}t}+Be^{-\sqrt{\frac{m\omega^{2}-k}{m}}t}$

特殊解は，加速度0とおいて（つまりこの解は振動の中心を表す）

$\frac{kl}{m\omega^{2}-k}$

となりました．ということはこの微分方程式の一般解は

$r=Ae^{\sqrt{\frac{m\omega^{2}-k}{m}}t}+Be^{-\sqrt{\frac{m\omega^{2}-k}{m}}t}+\frac{kl}{m\omega^{2}-k}$

ということになると思うのですが，これが一体質点のどのような運動を表しているのかがさっぱりです・・・．単振動なんでしょうか？どうかご教授願います．

Re: 無題

yama さんのレス (2005/08/16(Tue) 12:14)

?ですが，計算をしなくても，大体どのような運動になるかはちょっと考えれば分かります．この場合の力は，Ｏから遠ざかる向きにはたらき，点Ｏからの距離とともに単調に増加するので，点Ｏに向かって引き戻すような復元力ははたらきません．従って質点は振動することはなく，Ｏからいくらでも遠ざかり続け，ばねはいくらでも伸び続けます．ただし，実際にはばねが伸びきってしまうか，ばねが切れてしまうでしょう．

ただ単に，方程式を解いたらこうなったというのではなく，物理的な考察が大切です．

回転するばね

山旅人さんのレス (2005/08/16(Tue) 14:23)

質点の運動を記述する微分方程式を作ってみましょう．運動を極座標で表すと，

運動エネルギーＫ＝(1/2)ｍｖ ² ＝(1/2)ｍ((ｄｒ/ｄｔ) ² ＋(ｒｄθ/ｄｔ) ² ) … (1) 位置エネルギーＵ＝(1/2)ｋ(ｒ−ｌ) ² … (2) ラグランジアンＬ＝Ｋ−Ｕ

運動方程式（ｒ成分） (ｄ/ｄｔ)(∂Ｌ/∂ｖ)−∂Ｌ/∂ｒ＝０より

ｍｄ ² ｒ/ｄｔ ² ＋ｍｒ(ｄθ/ｄｔ) ² −ｋ(ｒ−ｌ)＝０ … (3)

（θ成分） (ｄ/ｄｔ)(∂Ｌ/∂(ｄθ/ｄｔ))−∂Ｌ/∂θ＝０より

２ｍｒ(ｄｒ/ｄｔ)(ｄθ/ｄｔ)＋ｍｒ ² (ｄ ² θ/ｄｔ ² )＝０ … (4)

質点は，連立微分方程式(3)(4)で支配される運動をします．7star さんがお書きの＜微分方程式＞は，(3)でｄθ/ｄｔ＝ω（一定）の解を求めようとするものですが，これを(4)に代入するとｍｒ(ｄｒ/ｄｔ)＝０，すなわちｒ＝一定 となります．これが?です．

すなわち，ばねが振動するときは，回転の角速度 ω は一定にはなりません．それでは，(3)(4)がどのような解をもつのか，これからゆっくり調べてみましょう．

>> yama さん「物理的な考察」をすれば， > 質点は振動することはなく，Ｏからいくらでも遠ざかり続け，ばねはいくらでも伸び続けます． > ただし，実際にはばねが伸びきってしまうか，ばねが切れてしまう…

ようなことが現実には起こりえないことは明々白々では！？！