zak さんの書込 (2005/08/02(Tue) 19:08)

出典：演習力学

問題質量mの２個の小さい物体と，自然長L，ばね定数Kの３本の軽いばねとを連結して，なめらかな水平面上3Lだけ隔たった２点にその両端を固定する．この系の，ばねに沿う方向の振動を調べよ．

図 |------○---------○------| 左から１個目のばねの変位はX1,２個目のばねの変位はX2

疑問点： 解答では，それぞれの運動方程式は

m d^2X1/dt^2=-kX1+K(X2-X1) m d^2X2/dt^2=-k(X2-X1)-KX2

となっているんですが，なぜこのような式になるのでしょうか？一応，ばねに着目してみたんですがよくわかりませんでした．よろしくお願いします．

篠原 さんのレス (2005/08/02(Tue) 20:09)

こんにちは．篠原です．

物体にかかる力に注目します．

左側の物体については，左のばねから受ける力が ，中央のばねから受ける力が ，となります．

右側の物体についても同様です． それぞれのばねの変位に注目してみてください．

zak さんのレス (2005/08/02(Tue) 21:05)

左のばねが受けるのは-KX1になるのはわかるのですが，なぜ中央のばねはK(X2-X1)になるのでしょうか？すいません．

篠原 さんのレス (2005/08/02(Tue) 21:28)

中央のばねの伸びは， になるので，中央のばねから受ける力は， になります．

zak さんのレス (2005/08/02(Tue) 21:54)

すいません，今頭がかなりこんごらがってるんですがなぜX2-X1がばねの伸びになるのですか？今，真ん中のばねはX2だけ伸びてX1だけ縮むんですよね？でも，これがX2>X1になるなら伸びだと思うんですが，X2<X1なら縮みませんか？ 今，考えてみたんですが，真ん中のばねのK(X2-X1)を分解してKX2-KX1とすると

------○---------○------

---------←←○→---------○------

一番左の←は左のばねがX1だけ伸びたのでその弾性力の-KX1 これはわかるんですが，以下はどうでしょうか？ ２番めの左は真ん中のばねがX1だけ縮んだのでその弾性力の-KX1 で，なぜ，KX2になるのかがよくわかりません・・．たしかに伸びるのはX2なんですがこれは両方X2が伸びるということなのでしょうか？

篠原 さんのレス (2005/08/02(Tue) 22:14)

は，伸びている場合も縮んでいる場合も含んでいます．

なら，中央のばねは伸びているし， なら，中央のばねは縮んでいます．符号を含めてばねの伸び縮みを考えています．

x軸を右方向に取り，今仮に，右の物体が右側に9cm(X2=9)，左の物体が右側に5cm(X1=5)変位していたとすると，中央のばねは9cm伸ばされ5cm縮むわけだから，結局X2-X1=4cm伸びていることになります．中央のばねが伸びているのだから，左側の物体は右側(x軸正の方向)に引っ張られるため，中央のばねから受ける力は右側に となります．

紙にきれいに図を描いてみると分かりやすいでしょう．

zak さんのレス (2005/08/02(Tue) 22:30)

中央のばねが伸びたら左側の物体はなぜ右側に引っ張られるんですか？

←○---------○→ ○----------------○

両端が延びるんじゃないんでしょうか？片側だとしても，右側の物体が延びるので，左側は動かないんではないでしょうか？

zak さんのレス (2005/08/02(Tue) 22:32)

左側の物体が右側に動くと左方向に弾性力がはたらいて，-K(X2-X1)にはならないんですか？

篠原 さんのレス (2005/08/02(Tue) 22:50)

もうすこし落ち着いて考えてみてください． 今は，運動方程式を立てているだけであるため，「動く」ことは考えなくていいですよね．今は，運動方程式「ma=F」 の物体にかかる力「F」を求めようとしていて，「どちら側にどのように動く」かは運動方程式を解いた後のことです．

それから，今は左側の物体のみに注目して，それにかかる力を考えています． 左側の物体にかかる力は2つ １．左側のばねの弾性力 ２．中央のばねの弾性力 です． 1.左側のばねから受ける力は ですよね． 問題なのは，2.中央のばねから受ける力です．

中央のばねから受ける力を求めるには，中央のばねの自然長からの伸び(縮み)を考えればいいわけですよね．今，中央のばねの自然長からの伸びは， だったわけです． 中央のばねは， だけ伸びたわけですから，中央のばねから受ける力は中央のばねが縮もうとする方向です．このため，左側の物体は中央のばねから右側に力を受けるため，中央のばねから受ける力は， になります．

zak さんのレス (2005/08/02(Tue) 23:05)

篠原さん，本当にありがとうございました．基本的なことを忘れていました．落ち着いて篠原さんの言うとおり見返してみるとようやく理解できました．本当に基本的なことを聞いてすいません．本当にありがとうございました．