質問
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zak さんの書込 (2005/07/17(Sun) 18:53)
問題：エルミート演算子Aの固有値方程式 注：Φn(r)は固有値関数,λnは固有値です．
AΦn=λnΦn (∫dr Φn(r)Φm(r)=δn,m)で与えられるとき，Aの期待値を<A>を 状態Φ(r)=ΣCnΦnにより計算せよ．Σの下の部分はnです．ただし，∫Φ*(r)Φ(r)dr=1と規格化されているものとする．
不明点と解答： 演算子Aの期待値を作ると
<A>=Σ(下の部分はn)C*nΣ(下の部分はm)Cm∫drΦn(r)*AΦm(r)-----------? =Σ(下の部分はn)Σ(下の部分はm)C*nCmλm∫drΦn(r)*Φm(r) =Σ(下の部分はn)Σ(下の部分はm)C*nCmλmδm,n-------------------? =Σ(下の部分はn)λn|Cn|^2
不明点はなぜ?や?のようになるんでしょうか？お願いします．
Re: 質問
yama さんのレス (2005/07/18(Mon) 09:48)
<A>=∫Φ*(r)AΦ(r)dr に Φ(r)=ΣCnΦn を代入すれば?になります． 問題文の3行目の ∫dr Φn(r)Φm(r)=δn,m は ∫dr Φn(r)*Φm(r)=δn,m の誤りだと思いますが，これを用いれば?が導かれます．
Re: 質問
zak さんのレス (2005/07/18(Mon) 16:52)
yamaさん，レスありがとうございます．すごく初歩的な質問でごめんなさい．<A>=∫Φ*(r)AΦ(r)dr に Φ(r)=ΣCnΦn を代入すれば?になりますとありますが，代入すると <A>=Σ(下の部分はn)C*nΣ(下の部分はｎ)Cｎ∫drΦn(r)*AΦn(r)にならないんでしょうか？なぜ，<A>=Σ(下の部分はn)C*nΣ(下の部分はm)Cm∫drΦn(r)*AΦm(r)のようにmが出てくるんでしょうか？この問題の前に異なる固有値に対する固有関数は互いに直交することを証明させられています．これは関係あるのでしょうか？
Re: 質問
zak さんのレス (2005/07/18(Mon) 17:01)
すいません，例えこれが関係あるとしてもなぜ?のようになるのでしょうか・・？
Re: 質問
yama さんのレス (2005/07/19(Tue) 00:27)
この場合，mやnは特定の固有関数を示しているわけではなありません． Φ(r)=ΣCnΦn のかわりにΦ(r)=ΣCmΦm と書いても同じことです．もちろん後者の場合はmについて和をとります． Φ*(r)AΦ(r)=ΣCn*Φn*AΣCmΦm＝ΣΣCn*CmΦn*AΦm となります． これを ΣΣCn*CnΦn*AΦn としたのではm=nの項だけの和になってしまいます． 固有関数の直交性はこの段階では関係ありません．
