蛍 さんの書込 (2005/07/12(Tue) 20:05)

はじめまして．蛍といいます． 大学1年生で，高校で物理を履修していません． 大学では物理未履修者クラスに入っているのですが，授業で出されたレポート問題が分からないので，質問させてください． 教授が5分くらい微分方程式について語り，「じゃあこの3つレポートにしてきてね」といっただけでほとんど知識もなく，困っています．

「ｘdy/dx=y^2-1（ｙの２乗マイナス１）を解け」

∫dy/(y^2-1)=∫dx/x (yは±１以外，ｘは０以外） 1/2∫(1/(y-1)-1/(y+1))dy=loglxl+C logl(y-1)/(y+1)l=2loglxl+C ここまで解いてみたのですが，ｙ＝の形に出来ません・・・．

篠原 さんのレス (2005/07/12(Tue) 20:41)

蛍さん，はじめまして． 篠原と申します．

最後の式の両辺の対数をとります． その後に，両辺に(y+1)をかけて・・・ とすると，わかると思います．

大変そうですね．がんばってください！

蛍 さんのレス (2005/07/12(Tue) 21:20)

篠原さん，レスありがとうございます． また質問なのですが，絶対値記号はつけたままで，両辺に（ｙ＋１）をかけるのでしょうか？

篠原 さんのレス (2005/07/12(Tue) 22:06)

対数ではなく，指数ですね．間違いましたごめんなさい． 絶対値のことを，忘れていました・・・ 右辺のxについては，２乗になるので，絶対値を無視してもかまわないでしょう． 左辺については，確かに無視できないのですが，

と置いたとき，本来 になるのですが， この を，実数全体の値をとり得ると考えれば， 言い換えれば，絶対値を取る代わりに， が負の値もとり得ると考えれば，左辺についての絶対値を無視していいでしょう．

蛍 さんのレス (2005/07/13(Wed) 00:22)

どうもありがとうございます． この問題の答ですが， ｙ＝(１±e^c・ｘ^2)/(1マイナスプラスe^c・ｘ^2） となりました． （コマンドが使いづらかったので直接打ち込みました．分かりにくくてすみません） コレでいいんでしょうか・・・

それと，もう２つ問題があって， ｙdy/dx＝−ｘ （１＋ｘ）dy/dx＝１−ｙ

なのですが，前者の計算が， (1/2)ｙ^2＝(-1/2)ｘ^2＋Ｃ となり，コレでいいのか迷ってしまい，後者は， ｙ＝1±ｅ^c(1＋ｘ) という答が出たのですが自信がありません． よろしければアドバイスをください．

FKD さんのレス (2005/07/13(Wed) 01:00)

微分方程式の計算結果に自信がないときは 求まった答えから などを求めて 元の式に代入すると検算ができますよ．

蛍 さんのレス (2005/07/13(Wed) 07:48)

ありがとうございます． ｙdy/dx＝−ｘの計算が (1/2)ｙ^2＝(-1/2)ｘ^2＋Ｃ という所まで進んだのですが，ここから答を出していいのでしょうか．

篠原 さんのレス (2005/07/13(Wed) 09:42)

そこまではあってます． ただ，y=… の形にした方がいいでしょう． ただし，全ての微分方程式で，y=f(x)の形に出来るわけではないので，その場合は出来るだけ簡単な形の式で答えましょう．

篠原 さんのレス (2005/07/13(Wed) 10:09)

あぁ，円の方程式ですね… x^2+y^2=r の形で答えたほうがいいかもしれませんね． すいません．

蛍 さんのレス (2005/07/13(Wed) 21:43)

こんばんは． 最初から問題を解きなおしてみたところ， （１）ｙ＝(１±ｅ ^c ｘ ² )/(１干ｅ ^c ｘ ² )（複号同順） （２）ｘ ² +ｙ ² ＝α（αは定数） （３）ｙ＝１±ｅ ² /(１+ｘ) となりました． 微分して代入すると，どれももとの式が成立したのですが，±が出てきたりしていまいち自信が持てません． コレでいいのでしょうか？

蛍 さんのレス (2005/07/13(Wed) 21:45)

ｙ＝１±ｅ ^c /(1+x)の間違いです．すみません．

FKD さんのレス (2005/07/14(Thu) 02:17)

をあらためて とおき直すと

もう少し見やすくなります．

蛍 さんのレス (2005/07/14(Thu) 22:21)

（１）ｙ＝(１＋Ｃ)/(１-Ｃ) （２）ｘ2+ｙ2＝α（αは定数） （３）ｙ＝１＋Ｃ/(１+ｘ) （Ｃ＝±ｅ ^c ） でよろしいでしょうか．

篠原 さんのレス (2005/07/14(Thu) 23:18)

計算結果を微分方程式に代入し，検算してみては？