Κ さんの書込 (2005/06/24(Fri) 00:17)

こんばんは．ちょっとした疑問です． |e5a2631b529ff7e4dfed0b651e53b431|r|d9d1fa6b9b087b8420961a1c08d4b57e| という弧長の式があったとき，drとdr/dtは同じ方向なのでしょうか？drは集めると弧長の長さになるので，接線方向の微小ベクトルだと思うのですが，dr/dtはｔを０に近づけたから接線方向になったわけで，（つまりdtのおかげで）どちらも同じ方向というのは納得できないです．

ｙama さんのレス (2005/06/24(Fri) 08:13)

ｄrはベクトル，dtはスカラーです． dr/dtはベクトルをスカラーで割ったものだから，もとのベクトルと同じ方向のベクトルです．

やかん さんのレス (2005/06/24(Fri) 08:23)

Ｋさん，yamaさん，はじめまして． がすでに接線方向を向いていると考えたらどうでしょうか．? はまだ接線方向を向いてないけれども， は のおかげでもう向いちゃってるとか・・・．ライプニッツの微分記号は分母子ばらすと微分というし，?と違って 微分される事が前提という事でしょうか・・・（うそかもしれません (^^;）

Κ さんのレス (2005/06/25(Sat) 00:31)

返信ありがとうございます．たしかにｙａｍａさんのように考えると納得はできるのですが・・． ＞?はまだ接線方向を向いてないけれども， は のおかげでもう向いちゃってるとか・・・． この部分が疑問で，?ｒ（接線でない）→?ｒ/?ｔ→ｄｒ/ｄｔ（この時点で接線方向になった）→ｄｒ（ｄｔがなくても接線？）みたいな疑問の流れなのですが．

yama さんのレス (2005/06/25(Sat) 18:06)

drは接線方向の無限小ベクトル，dtは無限小のスカラーだから，dr/dtは有限の大きさをもつ接線方向のベクトルです．

やかん さんのレス (2005/06/26(Sun) 13:10)

こう考えていいかどうかわかりませんが，接点は１点ですから，定義できるのはtの変化に対するrの瞬間変化率の方向と大きさのみ，つまりΔｔ→0とした時の値，方向のみですから，tの関与なく，rの増加分は接線方向を向きませんよね．

＞ｄｒ（ｄｔがなくても接線？）みたいな疑問の流れなのですが．

やはり，drって，dtあることが前提じゃないかなあ．yamaさんがお書きになったように， dのつく無限小って，大きさないから概念的なもので，接点１点だけでは，drって矢印書くのもあくまで便宜上の事であって（本来目で見えない？），Δr書くのと本質的には違うような気もしますね．

Κ さんのレス (2005/06/26(Sun) 14:26)

yamaさんのおっしゃることはわかるのですが，ぼくはやかんさんと同じ考えです．やはり を考えること自体いけないのでしょうか？計算のときだけ形式的にyamaさんのように考えていくというか．

yama さんのレス (2005/06/26(Sun) 15:23)

一応その通りですと言っておきましょう． 普通の実数論の枠内では，∫drやdr/dtは意味を持ちますが，dr自体は意味が無く，その方向を考えることはできません． また，?t→０のときの?rの極限値をdrと考えるとしても，それは０ベクトルになるので方向を考えることはできません． さらにdr/dtは?r/?tの極限値であって，drをdtで割ったものではありません． いずれにしても，drの方向というのは意味がありません．

しかし，数学的厳密さはともかく，物理では無限小時間とか無限小変位とかの概念は普通に用いられ，微分係数を無限小どうしの割り算とみなすこともよくあります．この観点ではdrは曲線上の無限小変位であり，また，接線方向の無限小ベクトルであると考えることができます． これは数学的には超準解析（non-standard analysis）の枠内で定式化することができます．超準解析では実数体を拡大し，無限小や無限大も取り込みます． 例えば，すべての（普通の）正の実数より小さい正の数（正の無限小）が存在します． いろいろな無限小が存在し，無限小どうしの演算や大小関係も考えられます． dtやdrも無限小量として意味を持ちます．

やかん さんのレス (2005/06/27(Mon) 17:54)

なるほど・・・．超準解析というのですか・・・． 無限小や，無限大がもちゃんと考えられるんですね． とても不思議 :)

Κ さんのレス (2005/06/27(Mon) 22:11)

物理的には問題ないということですか．僕は数学があまり得意でないので，いつも数式を物理的意味から入っていくんで疑問に思ったんです．お二人ともありがとうございました． 個人的な興味なんで答えなくてもいいのですけど，yamaさんは数学科の方ですか？

yama さんのレス (2005/06/27(Mon) 22:41)

数学科ではなくて物理学科なんですが・・・・それもかなり昔のことで・・・・

Κ さんのレス (2005/06/27(Mon) 23:45)

そうでしたか．ずいぶんとお詳しいですね．物理では数学は道具に過ぎないというイメージがあるもので．