2次元ポアソン方程式の解析解

masato さんの書込 (2005/06/11(Sat) 18:01)

はじめまして．わたしはエンジニアなのですが，会社で簡単な伝熱計算のプログラムを作る必要があり，その前段で偏微分方程式の勉強をしています．

2次元のポアソン方程式の解法を教えていただけないでしょうか．差分法で計算した結果（プログラム）と，解析解があっていることを確かめようとして，簡単な問題の解析解を作ろうとしたところ，どうやって解けばいいかわかりません．

問題としては，2次元xy平面(極座標でもいいです)で Δu＝k(kは定数) 境界条件 x=0，x=y=Lそれぞれu'=0(断熱条件) y=0u=T

物理的には一様な発熱を受けて， 1辺の温度が決定している場合の板（周囲は断熱)の定常温度分布です（のつもりです)．

直観的には距離の2乗で増加するような解になるような気がしますが，解析的な厳密解はどうやって解けばいいのか行き詰っています．どなたか，ヒントや参考書など教えていただければ幸いです．

どうもはじめまして．ところで，解析解は調べて分かれば良いと思うのですが，駄目ですか？微分方程式を解く必要がよく理解できません．

解を変数分離形にしたらダメですか？

おこめさん回答ありがとうございました．調べても良いと思っています．実際，いくつかの本をあたって見ましたが，私にはレベルが高く，”この問題そのもの”の実例を見つけられませんでした． (あるいは，簡単に応用できるのかもしれませんが，私にはよくわかりませんでした)．

一応神辺「偏微分方程式」，今村「物理とグリーン関数」は目を通しましたが，私には難解でわかりませんでした．

Johさんへの回答にあるような，式をいじくりまわしたレベルでストップしています．

申し遅れましたが，大学で物理をやっていましたが，既に卒業して10年間たち，その間無縁でした．

Johさんご回答ありがとうございました．

以下のような考えで計算してみましたが，どうもよく理解できていないところがあります．レベルの低さをさらけ出すようで恥ずかしいですが，ご笑覧ください．

問題を，2次元極座標r,θとして，境界条件を， r=Lでu'=0 r=0でu=T と変えてみます． (中心の温度決定，円盤の面に均一入熱したときの定常温度分布)

対称性から，u(r,θ)=u(r)

変数分離で (1/r)(ru')'=k rで1回積分して ru'=(k/2)r^2+C1C1は積分定数 u'=(k/2)r+C1/r (境界条件から第２項が決定できるか，ちょっと保留して，そのまま積分をもう１回) u=(k/4)r^2+C1ln(r)+C2

ここで， r=Lでu'=0とするとC1=-(k/2)L^2 r=0でu=TとするとC1が発散境界条件の決め方がおかしいのでしょうか？

簡単な物理モデルなので，難しい方法（私にとって)をつかわず解けないかと思ったのですが・・・．

どうかアドバイスなどいただければと思います．

最初，ヘルムホルツ方程式と勘違いしまして，変数分離形で，すぐにベッセル方程式になると思って，上の書き込みをしたんですが，ポアソンですものね．失礼いたしました．

>u=(k/4)r^2+C1ln(r)+C2

ここまでは合っていると思います．

下の方の境界条件をr=r1としておいて(二重円筒のモデル)，内側の管をすごく細いことにしたらダメでしょうか？昔，二重円筒管のモデルで研究をしていたんですが， r=0は特異点として扱っていました．私も，よくわかりません．

>問題を，2次元極座標r,θとして， >境界条件を， >r=Lでu'=0 >r=0でu=T >と変えてみます． >(中心の温度決定，円盤の面に均一入熱したときの定常温度分布)

この境界条件をみたす解は存在しないと思います．つまり，物理的な解釈としては，円盤の周囲を断熱境界条件にして円盤の面に均一入熱したとき，定常解は存在しないということです．