教えてください

fish さんの書込 (2005/06/09(Thu) 10:10)

はじめまして．工学系の大学をこの春卒業したfishです．仕事の宿題で以下のような問題が出て，いろいろ調べて自分なりに回答しましたが，恥ずかしながら解けませんでした．是非，教えてください．

In this course, you will need to be able to solve differential equations similar to the following. For each, derive a solution, including constants of integration C1 and C2. in these equations, a and b non-zero constants.

d2u/dx2 + a du/dx = b
d2u/dx2 = a x + b
1/r d/dr (r du/dr) = a
1/r2 d/dr (r2 du/dr) = a r + b

Solve each of these by transforming the equation into a first order differential equation, through a redefinition of the dependent variable. (For instance, for (d), let v= r2 du/dr) Integrate this equation and then transform back into the original variable. Integrate again.

一問目は，両辺をｘで積分して du/dx + a u = b x としたのですが，この先，またｘで積分しようとすると左辺の２項目にuがあり，どうしたらいいのかわかりません．最初の出だしから間違っているのでしょうか．

二問目は二回，ｘで積分して u = 1/6 a x3 + 1/2 b x2 としました．これは，検算でuをもう一度二回xで微分すると，問題の式に戻るので，あまり自信がありませんがいいのかなと．C1，C2の定数を使わなければいけないなら，使った場合の解答は， u = 1/6 a x3 + 1/2 b x2 +C1 x + C2 となり，こっちのほうがこの問題にそっているのでしょうか．

三問目・四問目は問題の例にあるように，左辺の（）内をｖでおいて計算して，３問めでは 1/r dv/dr = a 両辺にrをかけて dv/dr = a r rで積分してｖ= 1/2 a r2 vを戻して r du/dr = 1/2 a r2 両辺の1/ｒをかけてｒを消して du/dr = 1/2 a r また，ｒで積分して u = 1/4 a r2 としました．四問目も同じ手順で u = 1/12 a r3 + 1/6 b r2 としました．

私の数学の持てる知識を使って解くと上記のようになったのですが，正直間違っている気がかなりします．特に３問目・４問目に関しては，なぜ（）にあるrと外のｒの扱い方がわからず，上記のようにしてしまいました．是非回答いただけますようよろしくお願いします

Re: 教えてください

Joh さんのレス (2005/06/09(Thu) 11:44)

宿題，お疲れ様です．

あまりまだちゃんと読んでないんですが，２問目は，微分して元の式になったんなら，それでいいんじゃないでしょうか．３問目，４問目は，円筒座標の匂いがプンプンしますね．円筒座標系における，ナブラやラプラシアンを調べてみてください．rの扱いは，それでいいと思います．一問目は，初めから，間違っているようです．ヒントですが， $e^{ax}$ のようなものを，両辺に掛けるとか，そんなの，習ったことないですか？