等差級数の等比級数ですが，

不老街さんの書込 (2003/11/15(Sat) 10:11)

失礼します．ＨＰを拝見しましたが，いろいろ参考になります．ところで公式ですが，等差級数の等比級数ですが，下記の？はどうなりますか．１+２（２）+３（２）+４（２）+５（２）・・・・・+ｒ（２）＝？但し２（２）とは２の二乗のことです，，，．よろしければ教えてください．

(1/6)r(r+1)(2r+1)

ですね．シュレ猫さんありがとうございます．これは自然数の平方の和ですね．公式として覚えておくと便利です．導出は

(k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1

という恒等式を利用することで可能です．まず上の恒等式に k = 1, 2, 3, ... , n を代入していくと

(1+1)^3 - 1^3 = 3・1^2 + 3・1 + 1 (1+2)^3 - 2^3 = 3・2^2 + 3・2 + 1 (1+3)^3 - 3^3 = 3・3^2 + 3・3 + 1 … (1+n)^3 - n^3 = 3・n^2 + 3・n + 1

となります．これを左辺は左辺，右辺は右辺で足しあわせると

(1+n)^3 -1 = 3(1^2+2^2+3^2+...+n^2) + 3(1+2+3+...+n) +n

となります．左辺の足し算がちょっとわかりにくいですが，これはn番目とn+1番目が順々に消えていくので（例えば n=1 の左辺は 2^3-1，n=2の左辺は 3^3-2^3 なので 2^3 が消えます）こうなります．式を変形すると

3(1^2+2^2+3^2+...+n^2) = (n+1)×(1/2)×n(2n+1)

となります．

・参考

シュレ猫さん，崎間さん，どうもありがとうございます．今後もよろしくお願いします．