ケプラーの法則

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ケプラーの法則

msndance さんの書込 (2005/03/25(Fri) 12:55)

すいません，地学の勉強でケプラーの法則がでてきたんですが，わからない問題があります．物理は大学の学部レベルを一通りやっております．（独学ですが）

問題の図はここにアップしました．サイトの特性上，アドレスバーに直接入力してみてください．

http://page.freett.com/msndance/study/jinko.gif

惑星の運動に関するケプラーの法則は第１法則：惑星の公転軌道はだ円である．第２法則：軌道上の惑星と太陽を結ぶ半径（動径）が一定時間に通過する面積は，惑星ごとに一定である．第３法則：軌道の長半径（太陽からの平均距離）の３乗と，公転周期の２乗の比は，どの惑星でも同じである．

これらの法則を参考にして，地球から火星に向かう人口惑星の運動を考えてみよう．問題を簡単にするために，地球と火星は同じ１つの平面内にあり，半径がそれぞれ１天文単位と1.52天文単位の円であるとし，人口惑星の軌道は図のように地球と火星の両方の軌道に点Ａと点Ｂで接しているとする．また，人口惑星にはたらく力は太陽Ｓとの万有引力だけで，地球や火星の引力は無視できるものとする．なお，火星の公転周期は1.87年である．この人口尾惑星の軌道はだ円で，半長軸は(1+1.52)*1/2=1.26単位であるから，人口惑星の公転周期は√(1.26)^3=√2.00≒1.41年である．したがって，ある時刻t0に点Ａを出発した人口惑星が点Ｂに達するのは，t0から1.414/2=0.707年後である（このｐ時刻をt1で表す）．このような人口惑星の軌道運動の速度は，点Ａにおいては地球の速度の約1.10倍であるので，点Ｂにおいては地球の速度の約0.724倍であり，これは火星の速度よりも遅い．

この0.724を求める方程式が1.10*1/2=x*1.52/2なのですが，この式がどうやって出てくるのかわからずに困っております．左辺，右辺はそれぞれ何を意味しているのでしょうか．

問題の出所は，チャート式新地学の第１編末問題です．

Re: ケプラーの法則

崎間さんのレス (2005/03/25(Fri) 15:16)

> この0.724を求める方程式が1.10*1/2=x*1.52/2なのですが， > この式がどうやって出てくるのかわからずに困っております． > 左辺，右辺はそれぞれ何を意味しているのでしょうか．

面積速度一定の式ではないでしょうか．左辺がA点での面積速度，右辺がB点での面積速度をあらわしています．ケプラーの第2法則によるとそれらは等しいはずなので，イコールで結んであります．

中心からの距離は，A点で r=1 としますと，B点では r=1.52 となります．面積速度は $\frac{1}{2}r^2\frac{d\theta}{dt}$ で表され，ここで $r\frac{d\theta}{dt}$ は位置で惑星が円周上を単位時間あたりに進む距離，すなわちその点での速度となります．ですから面積速度一定の式は，A点での中心からの距離を $r_\mathrm{A}$ ，A点での速度を $v_\mathrm{A}$ ，B点についても同様に表記すると