初歩的な計算の質問です

おこめさんの書込 (2005/03/23(Wed) 09:33)

すみません．初歩的な計算が分かりません．良かったら教えていただきたいと思います．【学年・物理学習の度合い】学部新３年【問題の引用元】詳解力学演習後藤，山本，神吉共編共立出版p52 第２章§5 {１・２} 【どこまでできたか(自分で調べたこと)】が $\frac{2}{\sqrt{3} a}$ に比べて十分微小な量である場合の計算なのですが次の式の計算が演習書の答えと一致しません．

$\frac{1}{2} \left( 1 - \frac{\sqrt{3} x }{a} \right) \left( 1 - \frac{\sqrt{3} x}{4a} \right)^{-1} \tag{1}$

ここでマクローリン展開の1次近似までをとった

$(1 + \alpha x)^{n} \simeq 1 +n(\alpha x) ,[ \alpha x << 1] \tag{2}$

を用いて

$\left({1 - \frac{\sqrt{3} x}{4a}} \right)^{-1} &\simeq 1 -(-1) \frac{\sqrt{3} x}{4a} \\&= 1+ \frac{\sqrt{3} x}{4a} \tag{3}$

になると思います．すると $\tag{1}$ は近似的に次のようになると思います．

最終的に2次の微少量を無視した近似をとると

$&\frac{1}{2} \left( 1 - \frac{\sqrt{3} x }{a} \right) \left( 1 - \frac{\sqrt{3} x}{4a} \right)^{-1} \\&\simeq \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{\sqrt{3} x }{a} \right) \left( 1 + \frac{\sqrt{3} x}{4a} \right)\\&\simeq \frac{1}{2} \left({1 + \left({ -\frac{\sqrt{3} }{a} + \frac{\sqrt{3} }{4a}}\right) x}\right)\\&= \frac{1}{2} \left({1 - \frac{3 \sqrt{3} x}{4a}}\right) \tag{5}$

になると思うんです．【どこが分からないか】ところが結果は

$&\frac{1}{2} \left({1 - \frac{\sqrt{3} x }{a}}\right) \left({1 - \frac{\sqrt{3} x}{4a}}\right)^{-1} \\&\simeq \frac{1}{2} \left({1 + \frac{3 \sqrt{3}x}{4a}}\right) \tag{6}$

になっています．

公式の確認

おこめさんのレス (2005/03/23(Wed) 10:03)

念のために近似式の公式を確認しておきました．まず関数を

$f(x) = \left( 1 - \frac{\sqrt{3} x}{4a} \right)^{-1} \tag{7}$

としますとマクローリン展開の一次までとった近似は

$f(x) \simeq f(0) + \left. \frac{df}{dx} \right|_{x=0} x \tag{8}$

になると思います．まずを微分すると

$\frac{df}{dx} &= \frac{d \left( 1 - \frac{\sqrt{3} x}{4a} \right)}{dx} (-1)\left( 1 - \frac{\sqrt{3} x}{4a} \right)^{-1-1}&= \frac{\sqrt{3}}{4a} \left( 1 - \frac{\sqrt{3}x}{4a} \right)^{-2} \tag{9}$

なので近似式は

$f(x) &\simeq \left( 1 - \frac{\sqrt{3} \cdot 0}{4a} \right)^{-1} + \frac{\sqrt{3}}{4a} \left( 1 - \frac{\sqrt{3}\cdot 0 }{4a} \right)^{-2} x&= 1 + \frac{\sqrt{3} x}{4a} \tag{10}$