ユキクポ さんの書込 (2004/12/30(Thu) 14:01)

はじめまして．現在，理工学部に通っている大学二年生です． 私は今年，他学部（医療系）から理工学部へ編入してきた者です． そのため，数学の知識や物理の知識が足りない状態です． いつも泣きそうな思いをしながら解いているのですが‥ 今回の慣性抵抗を受ける落下の実験レポート課題は， まったく手をつけられないのです(涙)．

速度の二乗に比例する抵抗を受ける場合の運動方程式 m*d^2*z/dt^2=mg-k*(dz/dt)^2 この式から，終速度 v=√mg/k を導出するという問題です．

なんだか読みづらい数式で，申し訳ないです． わかる範囲で構いませんので，教えて頂けませんか？ すみませんが，よろしくお願いします．

おこめ さんのレス (2004/12/30(Thu) 23:04)

どうもはじめまして． ヒントを言います．終端速度のときdv/dt=0です．これだけで高校生でも解けるはずです．この非線形微分方程式の場合解析解も存在しますが，終端速度を求めるだけならばこれだけで良いと思いますよ．頑張ってください．

ユキクポ さんのレス (2004/12/31(Fri) 11:22)

返信，ありがとうこざいます．

昨日の夜，先生からヒントを頂いたのですが， 変数分離型微分方程式で解きなさい，と書いてあるのです．

1+ce-(2*k2*k*t/m) v(t)=K*-------------------- 1-ce-(2*k2*k*t/m)

またまた，わかりづらくてすみません． いちよう分数になっています． ここまで持ってくるには，どうすれば良いのでしょうか． 何度もすみませんが，よろしくお願いします．

山本明 さんのレス (2004/12/31(Fri) 18:45)

変数分離型の微分方程式は解けますか？

dy/dx = (yだけの式)×(xだけの式)

という形になるものを「変数分離型」といいます． これの両辺にdxを掛け算（厳密な言い方ではありません）して，(yだけの式)で割り算すると，

1/(yだけの式) dy = (xだけの式) dx

という形に整理できますね．これの両辺を積分すると，yをxで表すことができます．

さて，いまの問題ですが，運動方程式から

m*d^2*z/dt^2=mg-k*(dz/dt)^2

という微分方程式が得られています． あとはこの微分方程式を解いて，初期条件などを利用すれば，運動の様子を予測することができるわけです． それじゃあ，なんとかしてこの微分方程式を解いてしまいたい．そのための工夫の仕方は，慣れというか勘というか． 今回の場合，左辺が２階微分であるために解きにくくなっていますね．だけど，両辺を見渡してみてもｚの０階微分は存在していません． そこで，ｚの１階微分（これはつまり速度のｚ成分）をｖと書いて，微分方程式を書き直してみましょう．

・・・どうなるか実際に書いてみてください．そして，それが解けないかどうか，考えてみてください． 微分方程式を解くと，ｖとｔの関係式がなにか出てくるはずです．それを無理やりｖ＝という形に書けば，ヒントにあるような形になります．（上で書いてある式は書き間違いがありそうです．…そもそも変数の定義が書いてないし）

積分するところ，少し技術的な難しさがあるかもしれません．それは単に計算のやり方だけなので，わからなかったら，どこまでわかったか教えてください．

ちなみに終端速度を求めるだけならば，おこめさんが書いてるように，微分方程式を解かなくても済むんですが，出題者としては「微分方程式を解く→tを無限大にする」という流れで求めさせたいみたいですね．

さらに蛇足ですが，求められたｖをｔで積分したら，位置ｚについてもｔの式で表すことができますね．それで運動の様子が予測できるというわけです．…そこまでやったことないけど．

ユキクポ さんのレス (2005/01/01(Sat) 17:40)

ありがとうございます． レポートが少し，進みました．

積分なのですが‥ 積分の中身が 1 -----------dv=dt g-(kv/m) という形になりました． 両辺の積分記号の表し方がわからないので，書いてません‥． そこからlogで解こうとしたのですが，うまく出来ませんでした． せっかくわかりやすく教えて頂いたのに，理解力がなくてすみません． 微分方程式は一度勉強したのですが，しっかり理解していなかったようです． 図書館もお正月のためやってなく，調べることが出来なくて止まってしまいました． どうしたらいいのかわからなくて‥ この後はどうすればよいか，教えていただけますか？ 度々，本当にすみません． よろしくお願いします．

山本明 さんのレス (2005/01/02(Sun) 03:08)

これはもう微分方程式というより，単に積分計算の問題ですね．次の式をxについて積分できますか？

1. (2x+3)^4
2. 1/x
3. 1/(2x+3)

これくらいでヒントにならないかな？ 微分したらこんな形になりそうな関数を考えて，実際に微分して確かめてみましょう．不定の積分定数もお忘れなく．

ところで分母はｖの２乗じゃなくて，１乗ですね？そこまでできてるなら，優秀だと思います． もしできてなければ， 「 1/(AB) という形を一工夫すれば，1/A (の何倍か)と 1/B (の何倍か)との足し算・引き算で書き表すことができる」ってことを利用しましょう． （辻褄が合うように，1/A の何倍と 1/B の何倍を足せばいいかを求めます）

わからなかったら，どこまでわかったかを書いて，遠慮なく聞いてください． …私の返信は遅いですけど．

ユキクポ さんのレス (2005/01/02(Sun) 14:44)

色々とありがとうございます．

山本さんへ． まだ質問したい点がありますので， 下記に書いてあったサイトからメールを送ってもよろしいでしょうか？ すみません．

個人的な質問でこの掲示板を利用してしまい， すみませんでした． しかし． とても助かりました，ありがとうございました． これからもしっかり，勉学に励みたいと思います．

ちょくちょく遊びに来ているので， また掲示板を利用したいと思います． 本当に，ありがとうございました．