おこめ さんの書込 (2004/12/01(Wed) 22:41)

今，実験でコンピュータで速度２乗に比例する抵抗が働く質点の放物運動の数値解析しています．でも，プログラム作っただけで実験中は何に関係するのか全く触れないんですよね．

だからとりあえずそれが何を表しているのかを調べていました．結果どうやら静止粘性流体中の質点の運動を表している様だと言う事に気が付きました．そして流速が遅い時は近似的に速度に比例する抵抗が働く式になる事も分かりました． でも質点の場合を考える時，粘性流体中の剛体が受ける抵抗をどう計算してやれば良いんでしょうか？（ディラックのδ関数を使うような気もします） とりあえず剛体の場合を示しておきます． 剛体が粘性流体中で受ける力Fは流速vのとき，剛体周りを囲む閉局面をSとします． このとき流体の携帯運動量が流速の速さで単位時間に運ばれるので単位時間の運動量変化，つまり力は携帯運動量と流速の積と応力の項,あと外力Kの項を用いて <i>Ｆ</i>＝-∬（ρ<i>ｖ</i>v _n -p _n )dS+K と表されます．これは剛体を囲む閉局面から運動量が剛体に伝達されることを仮定しています．これを用いると静止流体中を運動する剛体が受ける抵抗が分かると言うわけです．

結果として質点の場合，応力の項が落ちるように見えるんですけど，応力は面のひずみに応じてかかっている力だから質点を考える時はゼロにできるっていっても良いんでしょうか？それとも応力pをまじめに考えないと駄目ですか？あと，空気抵抗の式が単位面積あたりの力fが

f＝−ρ/2ｖ<i>v</i> で与えられています．気になるのが1/2の因子．てことは応力項はゼロではないってことですかね．あっ，応力項は圧力項になるのかな？

なんか話がゴタゴタしていますが，結局は剛体の式を質点近似してやる方法を教えていただきたいと言う事です．

レポートの方は上のようなことをもう少し説得力を持たせる書き方をして，あと誤差の評価と質点の移動距離の最大値のときの角度の抵抗係数，初速度の依存性とをまとめて提出する予定です．あと，遅い初速度の場合の一次比例と２次比例の値を見比べるぐらいですね．

ホントの課題はある初速度のときの角度と移動距離のプロット．そして最大値となる角度をもとめるだけなんですけどね．考察として上のようなことをしたいんです．

崎間@管理人 さんのレス (2004/12/01(Wed) 23:49)

一ヶ所のみですが…

> 質点の場合，応力の項が落ちるように見えるんですけど，
> 応力は面のひずみに応じてかかっている力だから
> 質点を考える時はゼロにできるっていっても良いんでしょうか？

ひずみに関係するのは面に沿った応力，せん断応力ですね．面に垂直な引張応力と圧縮応力もあります．いずれも，単位面積あたりの力（つまりPa）で表します．質点の場合，面積（体積）ゼロと考えている訳ですから，応力は無限大になってしまいます．だから考えないのではないでしょうか．

CO さんのレス (2004/12/02(Thu) 02:40)

問題を整理すると， <pre> <b><i>Ｆ</i></b>＝-∬（ρ<b><i>v</i></b> v _n - p _n )dS + <b><i>K</i></b> </pre> の部分が，どう極限をとったら（単位面積あたりの力にするのは適当に調節するとして） <pre> f＝−(ρ/2) v ² </pre> になるかということでよろしいでしょうか？(式はこれであってる？v _n ，p _n は法線方向成分？)

おこめ さんのレス (2004/12/02(Thu) 07:18)

書き方がゴタゴタしててすみません．微小平曲面dＳのnは法線成分です． 剛体の空気抵抗の大きさF F=-A(ρ/2)*v^2A:剛体の断面積 で，これを勝手に式変形したので間違っているかもしれません．

＞ひずみに関係するのは面に沿った応力，せん断応力ですね．面に垂直な引張応力と圧縮応力もあります．いずれも，単位面積あたりの力（つまりPa）で表します．質点の場合，面積（体積）ゼロと考えている訳ですから，応力は無限大になってしまいます．だから考えないのではないでしょうか．

せん断応力は無限大に発散して物理的意味を持たないから，法線応力（圧力）のみを残すって感じですか？でも初めから _p で圧力しか力に寄与しないみたいです．（今気付きました）僕はこのあたりはレポートを出してから考えます．

今回のレポートは最初に僕が書いた剛体モデルで静止粘性流中の剛体運動が速度の２乗に比例することをおおまかに説明（誤魔化して）して，遅い初速度のときの近似が速度に比例するかをパソコンのプログラムで調べて終わりにします．

でもよかったら考えてみてください．

CO さんのレス (2004/12/02(Thu) 14:57)

> 応力は無限大になってしまいます．だから考えないのではないでしょうか．

そもそも剛体を仮定していますよね． 応力とかって関係してくるんでしょうか？

どうしたら <pre> <b><i>Ｆ</i></b>＝-∬（ρ<b><i>v</i></b> v _n - p _n )dS + <b><i>K</i></b> </pre> が， F=-A(ρ/2)*v^2A:剛体の断面積 になるかというのを考えているということで良いですか？

おこめ さんのレス (2004/12/02(Thu) 15:57)

＞そもそも剛体を仮定していますよね． 応力とかって関係してくるんでしょうか？

うーん．剛体近傍の流体と外の流体との間に応力が働くんじゃないでしょうか？（弾性体の問題ではないので）つまり，粘性流体の受ける応力が作用反作用の法則に従って剛体に力がかかるというイメージでした．弾性体だと弾性体の応力と流体の応力が働くのではないでしょうか？ 問題はＣＯさんの言う通りです．そもそも僕の解析しているのはニュートン力学なので遠隔作用的だということに気付きました． 全く同じ結果を流体力学から出すのは僕が想像する以上に難しいのかもしれません．とりあえず，あえて間違えてもいいから頑張ってレポートを書いてみます．多分，間違いが許されるのも今の内でしょうから．

おこめ さんのレス (2004/12/04(Sat) 11:32)

この問題解決しました．進行方向にｘ軸をとって一次元のナヴィエ・ストークスの方程式 ρ*∂ｖ/∂t+ρv∂v/∂x=-∂P/∂x+η∂ ² v/∂x ² +K の右辺第2項の粘性項を落として第二項を非圧縮性を仮定してρ=constのもとに ∂(v^2)/∂x=∂(v*v)/∂x=v*∂v/∂x+∂v/∂x*v ∴v∂v/∂x=1/2*∂(v^2)/∂x を使って ∂p/∂t=-ρ/2*∂(v^2)/∂x-∂P/∂x+K p：流体の運動量 とできます．静止流体中の剛体の運動の場合，この流れを断面積分だけかけてやればいいってことです．符号が逆になりそうですが，このとき物体近傍の流速は剛体の速度をｖとすれば-vなので上に書いた式と辻褄があいます．

要するに非圧縮性で粘性の少ない流体，つまり空気のようなものが近似的にこの式に従うって事ですね．

おこめ さんのレス (2004/12/05(Sun) 16:02)

＞要するに非圧縮性で粘性の少ない流体，つまり空気のようなものが近似的にこの式に従うって事ですね．

更に物体の初速度が比較的遅い場合です．更に遅い場合は一次近似になるみたいです．なんか少しだけすっきりしました．流体力学は難しいですね．

CO さんのレス (2004/12/05(Sun) 17:05)

解決しましたか，良かったですね．

> 2004/12/02(Thu) 15:57  No.3453
> 右辺第2項の粘性項を落として第二項を非圧縮性を仮定してρ=constのもとに

は，

> 2004/12/04(Sat) 11:32  No.3473
> 剛体近傍の流体と外の流体との間に応力が働くんじゃないでしょうか？
>（弾性体の問題ではないので）つまり，粘性流体の受ける応力が作用反作用の法則に従って剛体に力がかかるというイメージでした．
> 弾性体だと弾性体の応力と流体の応力が働くのではないでしょうか？

これの効果を無視したんだと考えれば良いのでしょうか？

おこめ さんのレス (2004/12/05(Sun) 17:32)

上の発言ですが，せん断成分を落とした事になるでしょうかね．（考えてませんでした）

解決したと思いましたが，全くの勘違いでした．以前に書いた式

∂p/∂t=-ρ/2*∂(v^2)/∂x-∂P/∂x+K p：流体の運動量 だと ρ∂v/∂t=-∂/∂x(ρ/2*v^2+P)+K になってしまって，ポテンシャル関数に繰り込めるので完全に線型微分方程式になってしまいます．運動量の定義も間違っているような気がするので左辺を元の形に戻しておきました．これが成り立つのは渦なし流の場合のみのようです．（死水中の物体の運動は渦なし流体の運動としても良いようなきもしますが） ともかく調べるべきところは死水理論のようで，またぼちぼち調べてみます．