振動の問題で
振動の問題で
とおる さんの書込 (2004/10/27(Wed) 14:09)
基本的な問題だと思うんですが解けません．誰か教えてください． 同一方向の同じ振動数(w)の二つの単振動を合成し，振幅と初位相を式に表す問題で 単振動の式を x1=A1sin(wt+s1) x2=A2sin(wt+s2) として x=x1+x2 のxを求めたいのですがお願いします．
Re: 振動の問題で
とおる さんのレス (2004/10/27(Wed) 14:12)
xを求めたあともお願いします．
Re: 振動の問題で
崎間@管理人 さんのレス (2004/10/27(Wed) 15:43)
波の重ね合わせですね．波はイメージし易いので，まずはイメージしましょう． 二つの波を重ね合わせるとどうなるでしょうか．
といっても，定数が多すぎてよく分かりませんね． 一番簡単なのは，振幅と速さが同じで逆向きに進む波の合成です． この場合，定常波という，上下にゆらゆらするだけの波になります （プールなんかで定常波に近いものが見られます）．
で，とおるさんが求めたいのは数式ですよね． A1sin(ωt+s1)とA2sin(ωt+s2)とがあるとき， これを合成して一つの単振動 A0sin(ωt+s0) を求めます．つまり
A0sin(ωt+s0) = A1sin(ωt+s1) + A2sin(ωt+s2)
を満たす A0, s0 をA1, s1, A2, s2 を使って表せば良いです． 三角関数の公式で，a sinθ + b cos θ = r sin(θ+φ)というのがあります． ここで， r = (a^2+b^2)^1/2, φ=tan^-1{b/a} です． この関係を応用すれば，求める値に関しての関係が得られます．
あとは，とおるさんにおまかせします．
Re: 振動の問題で
ken さんのレス (2004/10/27(Wed) 15:52)
いくつかの公式を使えば解けると思います． ヒントを差し上げましょう． α=wt+s1 , β=s2-s1とおきます．
x1=A1sin(α) x2=A2sin(α+β)
sin(α+β)の公式 sin(α+β)=sinα・cosβ+cosα・sinβ を使います．
x=x1+x2=(A1+A2・cosβ)・sin(α)+A2・sinβ・cos(α) となります．
a=(A1+A2・cosβ) b=A2・sinβ r=√{(a^2+b^2}=√{A1^2+2・A1・A2・cosβ+A2^2} θ=arccos(a/r) (cosの逆数)とおきます．
x=r{cos(θ)・sin(α)+sin(θ)・cos(α)}=r・sin(α+θ)
あとは，記号を戻していけば解けるでしょう．
