OKY さんの書込 (2010/04/04(Sun) 22:51)

http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/gaussIntegral/

に記載のガウス積分の計算途中でよく分からなくなったので質問します．

x=rcosΘ, y=rsinΘとした後に積分の式では rdrとdΘが出てくると式4に記載されています．

一方で，自分で考えますと x=rcosΘのrによる微分から dx = cosΘdr y=rsinΘのΘによる微分から dy = rcosΘdΘとなり， 式4では r (cosΘ)の二乗 dr dΘになるのではないかと思います．

(cosΘ)の二乗の部分がなくなっているのは，どういう変換を行っているからなのでしょうか?

たま さんのレス (2010/04/04(Sun) 23:22)

それでは逆に聞きますが，x = r cos θのとき，x は r とθの関数なので，微分すると， dx = dr cosθ - r sinθdθ と考えないのですか？ 同じく， dy = dr sinθ + r cosθdθ となりませんか？

あの記事で行なっている変換は，積分計算の際に良く行なわれる(x, y)座標から(r, θ）座標への変数変換であり， dx dy = J dr dθ = r dr dθ という関係を使っています． （これから，dx dy というのは，dx と dy の単なる掛け算ではないのがわかるはず） つまり，J = r なのですが，この J をヤコビアンといいます． あとは，ヤコビアンで検索するか，本の索引で調べてみてください． 必ずどこかに説明があるはずです． 直感的には，dx dy という微小な長方形は，(dr)(r dθ) = r dr dθ という微小な扇形と等しいと思えば十分です． 絵に描いてみて，それを実感してください．

OKY さんのレス (2010/04/05(Mon) 21:02)

dxの計算，dyの計算ともにrの微分とΘの微分両方を考慮した計算が必要だったのですね．

かぎしっぽの「ヤコビアンと計量因子」のページを見ると，確かに両方での偏微分を考慮する必要がありますね．

まだまだ勉強不足でした．

丁寧なご回答ありがとうございました．