mmn さんの書込 (2010/02/18(Thu) 13:49)

はじめましてです． 現在大学1年で初めて力学を学んでいて 大苦戦中です．

以下の問題について質問です．

自然長L，ばね定数kのばね（質量は無視できる）の両端に質量ｍの質点をつなぎ，なめらかな水平面上で質点をｘ１＝a，ｘ２＝bの位置でばねが伸びている状態（b-a>L）で静止させた．この状態から静かに手をはなしたのちの運動について考える． ばねの伸びXをx1,x2,Lで表しなさい．

というもので，運動方程式を使って， X＝(d^2x/dt^2)*(2/ω^2) としてみたのですが， 題意からずれてしまいました．

よろしくお願いします．

Yokkun さんのレス (2010/02/18(Thu) 19:29)

まずは準備の段階・・・ということですね．あわてない，あわてない．

○^v^v^v^v^v^v^v○---> x 自然長L

○^v^^v^v^v^v^v^v^v^v○---> x x1x2

図がずれたかもしれませんが，ばねはどれだけ伸びていますか？

mmn さんのレス (2010/02/18(Thu) 21:49)

なるほど! 問題文を勘違いしていたみたいです． （x2-x1）-L=ばねの伸び ということですかね?

ということはわたしはこれの前の問いで それぞれの質点の運動方程式を求めよというのに対しても 勘違いをしていたようです． でもそうすると，ばねの伸びは今度はどこから 求めればよいのでしょうか? 各々の伸びを求めなければならないということですよね？

Yokkun さんのレス (2010/02/18(Thu) 22:35)

>それぞれの質点の運動方程式を求めよ

え？ばねの伸びを求める前に運動方程式・・・ですか？奇妙な小問配列ですね．

>各々の伸びを求めなければならないということですよね？

ご質問の意味がちょっと読み取れませんでした．あくまでばねは1本で，それぞれの質点はその両端についているのですよね？それぞれが受ける力は，大きさ等しく逆向きであると思います．

あ，ばねを重心で分割しようという考えでしょうか？その考え方でも運動方程式は導けますが・・・題意とご質問の意図がいまいち不明です．

mmn さんのレス (2010/02/18(Thu) 22:50)

説明不足ですみません． その通りで，重心で分割しようという考えです． ですが，Yukkunさんのおっしゃる通り，ばねは1本でその両端に質点が付いているので，大きさが等しく逆向き，ということで求めるほうがきっと単純に済みますよね? となると，ばねの伸びは先ほどの（x2-x1)-Lで， F=-k(x2-x1-L)とF=k(x2-x1-L)になるということでしょうか?

やっぱり変な配列ですよね・・・ (1)が運動方程式，(2)が重心とばねの伸びを求める問題です．

Yokkun さんのレス (2010/02/18(Thu) 23:10)

なるほど．

ひょっとしたら，(1)では外から普通に見たそれぞれの運動方程式を立て，(2)では重心を求めて，重心で2本のばねに分割し，両端への伸びを計算して重心に対するそれぞれの運動方程式を求める・・・という手順でしょうか？下記スレッドでちょうど同じような問題について質疑があったので，参考になるかもしれません．

Http://hooktail.maxwell.jp/cgi-bin/yybbs/yybbs.cgi?room=room1&mode=res&no=26435&mode2=preview_pc

いずれにせよ，全体の小問の流れがわからないと題意が把握しかねます．

mmn さんのレス (2010/02/18(Thu) 23:32)

参考URLありがとうございます．

たびたびの内容不足すみません．

小問は全部で4問で， （1）質点の運動方程式を求めよ．水平方向x軸で，各質点の位置座標をx1,x2(x2>x1)とする． （2）ばねの伸びXをx1,x2,Lで表せ．重心の位置Yをx1,x2で表せ． （3）（1）と（2）より，XとYの方程式を求め，初期条件を考慮してX(t)，Y(t)を求めよ (4) x1(t),x2(t)を求めよ というものです．

Yokkun さんのレス (2010/02/19(Fri) 14:32)

なるほど．全部書いていただいてようやく題意がつかめました．

(1) 普通に各質点の運動方程式をたてる．このとき，各運動方程式に座標変数x1,x2が入り混じります． (2)〜(3) 相対変位 X（正確には相対座標の差からばねの自然長を引いたもの，すなわちばねの伸びを座標変数にとる）の運動方程式と，重心運動の方程式を立てる．流れからすると(1)の結果から導くというのが素直なところでしょう．XとYの運動方程式は，完全に座標変数が分離しているので，そのまま解けます． (4) 座標変数をもどして，(1)の解x1(t)，x2(t)を求める．

というのが題意に沿った流れです．座標変数をx1，x2からX，Yに変換することで，x1とx2の入り混じった２つの微分方程式をX，Yの独立した微分方程式に直すことができ，そうするとXは1次元の単振動に帰着し，Yは等速度運動（静止）に帰着して簡単に解けるということです．

x1,x2からX,Yへの変換は，(1)で得られた運動方程式を辺々引いてXの微分方程式を得，辺々加えてYの微分方程式を得ればOKです．

mmn さんのレス (2010/02/19(Fri) 20:58)

なるほど!納得です! 流れがまったくつかめていませんでした． Yokkunさんの説明でよくわかりました．

丁寧にどうもありがとうございました!