慣性能率

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慣性能率

asdf さんの書込 (2010/02/02(Tue) 22:30)

大学１回です．

半径a，質量M，密度一様な球が，表面の点Oを通る水平軸のまわりに自由に回転できる．それが静止している状態で，質量ｍ，速さｖの弾丸が水平方向から軸に垂直に打ち込まれ，弾は極めて短時間で球の中心で止まり，球は水平軸の周りに微小振動を始めた．

という問題で，軸のまわりの慣性能率Iは，

$I = \frac{2}{5}Ma^2+Ma^2+ma^2$

となっているのですが，この ma^2 を足す理由は何でしょうか？ $\frac{2}{5}Ma^2+Ma^2$ は，平行軸の定理 I=I_G+Mh^2 を使ったというのはわかるのですが，なぜ，ｍにa^2をかけたものを足しているのでしょうか．

Re: 慣性能率

yama さんのレス (2010/02/02(Tue) 22:56)

球に弾丸が加わったので，水平軸のまわりの弾丸の慣性能率を加えたものが全体の慣性能率になります．

Re: 慣性能率

asdf さんのレス (2010/02/02(Tue) 23:34)

回答ありがとうございます．

平行軸の定理で，I_Gは，重心を通る軸のまわりの慣性能率なので，今回の場合は， $\frac{2}{5}Ma^2+Ma^2$ が，I_Gになるということでしょうか．だったら確かに，弾は球の中心（水平軸から距離a）にあるので，あのような式になりますが，水平軸は重心を通っているわけではないのでこの定理を適用できないと思ったのですが，どうなのでしょうか？それとも，質点の慣性能率がma^2になり，それを足しているのでしょうか？また，２つ以上の物体があるとき，単純にそれらの慣性能率の和をとれば，その系の慣性能率が求まるのでしょうか？

Re: 慣性能率

yama さんのレス (2010/02/02(Tue) 23:47)

弾丸の大きさを無視して質点と見なしたわけです．その場合，重心のまわりの慣性能率が（質点の慣性能率が0なので）弾丸の有無に無関係に $\frac{2}{5}Ma^2$ となるので，平行軸の定理を適用しても結果は同じになります．つまり重心のまわりの慣性能率 $\frac{2}{5}Ma^2$ に，軸のずれによる変化 (M+m)a^2 を加えるわけです．

>また，２つ以上の物体があるとき，単純にそれらの慣性能率の和をとれば，その系の慣性能率が求まるのでしょうか？

そうです．

Re: 慣性能率

asdf さんのレス (2010/02/03(Wed) 01:54)

ありがとうございました．

Re: 慣性能率

asdf さんのレス (2010/02/03(Wed) 18:34)

すいません．もう一度同じ問題で質問させてください．

この本来の問題は，振動の周期とふれ角の最大値を求めよ（ふれ角は十分小さい）

というものなのですが，周期は分かったのですが，ふれ角について疑問に思ったことがあります．

運動方程式 $I\frac{d^2\phi}{dt^2}=-(M+m)g \times a\sin\phi$ より， $\omega=\sqrt{\frac{(M+m)ga}{I}}$ （途中式は省略しました）となり，ふれ角の最大値を $\phi_0$ とすると，エネルギー保存より，

$\frac{1}{2}I\omega^2&=(M+m)ga(1-\cos\phi_0)\\&=\frac{1}{2}(M+m)ga\phi_0^2\\\therefore \phi_0&=\sqrt{\frac{I}{(M+m)ga}}\cdot\omega\\&=1$

となってしまったのですが，これはやはり間違っていますか？

答えは， $I\omega=a\cdot mv$ をもちいて， $\omega$ を消去してｖを用いたものになっていました．

Re: 慣性能率

ミュフ猫さんのレス (2010/02/03(Wed) 19:07)

横レス，失礼します．

φもωも時間tの関数では？おそらく，vが含まれるであろう初期条件の方程式を見落としているのでは？間違ってたら，すみません．m(_ _)m

Re: 慣性能率

Yokkun さんのレス (2010/02/03(Wed) 19:40)

横レスNo.2です．

$\omega$ は振動の角振動数を表そうとされているのだと思いますが，これと $\dot\phi$ とは全く異なるものです．これを同一視されているのがそもそもの間違いだと思います．運動エネルギーは， $\frac{1}{2}I\omega^2$ ではなく， $\frac{1}{2}I\dot\phi^2$ ですよね？この場合単振動ではありませんが，もし単振動の場合は $\phi = \phi_{\rm max}\sin\omega t$ $\dot\phi = \phi_{\rm max}\omega\cos\omega t$ ということになると思います．