lan さんの書込 (2010/01/31(Sun) 01:16)

X(z)=(-z)/{z-(1/2)}の収束条件を求める，という問題についてです．

テキストには|z|<1/2となっているのですが，どのようにすればよいのかわかりません． 私の考えでは， X(z)=(-1)/{1-(1/2)*z^(-1)}となり， 等比級数と考えると公比が(1/2)*z^(-1)であるので，この絶対値が1より小さければよいと思いました． |(1/2)*z^(-1)|<1 1/2<|z| となってしまい，不等号の向きが反対になってしまいます． どこが間違っているのかご指摘いただきたいです． よろしくお願います．

なんとなく さんのレス (2010/01/31(Sun) 11:26)

基本に忠実に行うことが大切だと思います． X(z)は複素関数で，その収束半径を求める問題ですね．基本的には（複素）関数を（複素）べき級数に展開して，その絶対収束で判定します．そのため，展開係数を求め，コーシー・アダマールの判定法を使います．べき級数にはテイラー展開すれば良いのですが，簡便法もあります．この例では， X(z)=-z/(z-1/2) =2z/(1-2z) =2z{1+(2z)+(2z)^2+(2z)^3・・・} (ただし，1/(1-x)=1+x+x^2・・・) =Σ2^nz^n ですから，係数an=2^nより，収束半径rに対して，判定法より， 1/r=lim|an+1/an|=2 したがって，r=1/2，つまり，|z|<1/2が収束条件です． まあ，結果から見れば上の展開３行目で各項が絶対値<1の条件ですから，あきらかですが．