ハミルトニアン

トビラ．．さんの書込 (2010/01/21(Thu) 00:15)

こんばんわ．すみません，本読んでてわからない数式があったのですが，どなたか教えてください．ハミルトニアン $H(p,\,q)$ とエネルギーの間には $H(p,\,q)=E$ の関係があるとして， $p,\,q$ はその正準変数，つまりは，の正準共役な量をとします．また，は $H(p,\,q)=E$ をといた関数です．すると本では

$\left( \displaystyle\frac{\partial p}{\partial E}\right)=\displaystyle\frac{1}{\left(-\displaystyle\frac{\partial H}{\partial p}\right)}$

が成立する．と書いてあるのですが，どうして右辺の分母の符号がマイナスになるのでしょうか？どなたかアドバイスお願いします．

Re: ハミルトニアン

名無しさんさんのレス (2010/01/21(Thu) 17:30)

こんにちは．

簡単に説明してしまいます．「ディメンション」を考えてみると良いでしょう．

たとえば，式（1）

$y = x^{2}$

という数式があったとします．

これと同じようにして，次の場合も同じになります．式（2）

$y = 1/x^{-2}$

さて微分の定義から明らかなように・・・後の式に変形したとき．そのディメンションに含まれる数が表に出ます．

そのため，マイナスがつきます．

Re: ハミルトニアン

yama さんのレス (2010/01/21(Thu) 22:29)

その関係式が本当に成り立つかどうか疑問に思います．例えば簡単な場合として

$H(p,q)=\frac{p^2}{2m}=E$

のときは

$p=\pm\sqrt{2mE}$

なので

$\frac{\partial p}{\partial E}=\pm\sqrt{\frac{m}{2E}}$

であり，また

$\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{p}{m}=\pm\sqrt{\frac{2E}{m}}$

となるので

$\frac{\partial p}{\partial E}=\frac{1}{\frac{\partial H}{\partial p}}$

という関係が成り立ち，マイナスの符号はつかないと思うのですが．

Re: ハミルトニアン

yt さんのレス (2010/01/22(Fri) 02:53)

私もマイナスの符号はつかないと思います．その本の誤植ではないでしょうか．とりあえず全微分の形式で書くと判り易いと思います． $dE=\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)dp + \left(\frac{\partial H}{\partial q}\right)dq$ 左辺にが来るように式変形すると， $dp=\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)^{-1}dE - \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)^{-1}\left(\frac{\partial H}{\partial q}\right)dq$ となるので， p=p(E,q) について， $\left(\frac{\partial p}{\partial E}\right)=\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)^{-1}$ $\left(\frac{\partial p}{\partial q}\right)=-\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)^{-1}\left(\frac{\partial H}{\partial q}\right)$ の関係がある事が判ります．

Re: ハミルトニアン

トビラ．．さんのレス (2010/01/22(Fri) 11:40)

みなさんありがとうございます．名無しさん申し訳ありませんが，僕の知能では理解できませんでした．すみません．もう少し詳細にこの本に乗っていることを書いてみます．この本では一般化された断熱不変量の計算（証明）をしているんです．まず，を $J_T(\tau)=2\displaystyle\int ^{q_\tau^{(2)}}_{q_\tau^{(1)}}p_\tau (q_\tau ,\,E(\tau ),\, a(\tau /T))dq_\tau$ で定義されます．このとき $q_\tau ^{(1)},\,q_{\tau }^{(2)}$ は $p_\tau (q_\tau ,\,E(\tau ),\,a(\tau /T))=0$ の２つの根です．「が時間 $\tau$ とともに十分ゆっくりと変化するときは $J_T(\tau )$ の値は $\tau$ が変わっても変化しない」という一般的な断熱不変量の証明が目的なんですけども，その計算の過程で， $\displaystyle\frac{dJ_T(\tau) }{d\tau }=2\displaystyle\int ^{q_\tau ^{(2)}}_{q_\tau ^{(1)}}\left\{ \left( \displaystyle\frac{\partial p}{\partial E}\right)_{\tau }\displaystyle\frac{dE(\tau )}{d\tau}+\left( \displaystyle\frac{\partial p}{\partial a}\right)_\tau \displaystyle\frac{da(\tau /T)}{d\tau }\right\} dq_\tau$ が得られ， $p(q,\,E,\, a)$ は $H(p,\,q,\,a)=E$ をについて解いてえられた関数なので， $\left( \displaystyle\frac{\partial p}{\partial E}\right)_\tau =1\left/\left(-\displaystyle\frac{\partial H}{\partial p}\right)\right. ,\quad \left( \displaystyle\frac{\partial p}{\partial a}\right)_\tau =-\left( \displaystyle\frac{\partial H}{\partial a}\right)_\tau\left/\left(-\displaystyle\frac{\partial H}{\partial p}\right)_\tau\right.$ が成立する．これらの関数と， $(\partial H/\partial p)_\tau =dq_\tau (t)/dt$ を用いると結局 $\displaystyle\frac{dJ_T(\tau )}{d\tau }=2\displaystyle\int ^{q_\tau ^{(2)}}_{q_\tau ^{(1)}}\left\{ \displaystyle\frac{dE(\tau )}{d\tau }-\left( \displaystyle\frac{\partial H}{\partial a}\right)_\tau \displaystyle\frac{da(\tau /T)}{d\tau }\right\} \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{dq_\tau (t)}{dt}}dq_\tau$ $=\displaystyle\int ^{q_\tau ^{(1)}}_{q_{\tau }^{(1)}}\left\{ \displaystyle\frac{dE(\tau )}{d\tau }-\left( \displaystyle\frac{\partial H}{\partial a}\right)_\tau \displaystyle\frac{da(\tau /T)}{d\tau }\right \} dt$ となる．って書いてあるんですが，この後もこの右辺の第２項の計算はマイナスのまま進んでいます．これを理解するには，最初にした僕の質問を理解すれば後も同様に計算できるだろうと憶測したため，あの質問をしました． ※朝永振一郎著「量子力学I（第２版）」１０９ページ引用しました．