微分方程式

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微分方程式

tip さんの書込 (2010/01/15(Fri) 03:08)

LCR直列回路に電圧Eの直流電源を印加した場合の流れる電流を微分方程式で解くという問題なのですが，Rが定数の場合は解くことができたのですが Rが電流に依存する抵抗という仮定で微分方程式を解くことができません．

立式は初期条件がコンデンサに電荷が蓄えられておらず，電流が0という条件ならば， t=0のときi=0,i'=E/L Li''+(R(i)*i)'+i/C=0 となると考えました．

(R(i)*i)'の部分をどのように考えればいいのかよく分かりません．とりあえず分解して R(i)*i'+i*(R(i))' としましたが，ここからよく分からなくなりました．

以上よろしくお願いします．

Re: 微分方程式

mNeji さんのレス (2010/01/15(Fri) 14:03)

私も良く判りませんが，

＞Li''+(R(i)*i)'+i/C=0 ＞となると考えました．

この式は，もともと

$L\frac{\mathrm{d} i(t)}{\mathrm{d}t}+R(i)i(t)+\frac{1}{C}\int_0^t i(t')\mathrm{d} t' = E(t)$

の辺々を時間で微分して得られる式ですよね．ですから，「(R(i)*i)'の部分」はそのまま，

$\frac{\mathrm{d} R(i)i(t)}{\mathrm{d}t} &= \frac{\mathrm{d} R(i)}{\mathrm{d}t}i(t)+R(i)\frac{\mathrm{d} i(t)}{\mathrm{d}t}\\&= \frac{\mathrm{d} R(i)}{\mathrm{d} i}\frac{\mathrm{d} i(t)}{\mathrm{d} t}i(t)+R(i)\frac{\mathrm{d} i(t)}{\mathrm{d}t}\\&= \frac{\mathrm{d} R(i)}{\mathrm{d} i}\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d} i(t)^2}{\mathrm{d} t}+R(i)\frac{\mathrm{d} i(t)}{\mathrm{d}t}$