曲面積

曲面積

djwk さんの書込 (2010/01/12(Tue) 21:57)

現在，大学１回生です．

解析学の曲面積の問題です．

円柱 y^2+z^2=a^2 の 球 x^2+y^2+z^2=2a^2 の内部にある部分の曲面積を求めよ．（a>0）

という問題で， 曲面積の公式 S=\int\!\!\!\int_D\sqrt{f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2+1}dxdy を使うのはわかるのですが，どうすればよいかよく分かりません．

どうすればよいのでしょうか．

ちなみに，答えは， 4\pi(3-\sqrt{2})a^2 です．

Re: 曲面積

Yokkun さんのレス (2010/01/12(Tue) 23:13)

> S=\int\!\!\!\int_D\sqrt{f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2+1}dxdy

うーむ．そんなおおげさな・・・という気もします．

高さ 2a ，半径 a の円柱側面と，中心角 \pi/4 の円錐面で切り取られる半径 \sqrt 2 a の球面が２つ分ですから，

S &= 2\pi a\times 2a + 2 \times \int_0^{\pi/4}2\pi\sqrt 2 a\sin\theta \times \sqrt 2 a {\rm d}\theta \\&= 4\pi(3-\sqrt{2})a^2

でどうでしょうか？

公式の応用練習という限定つきならば，下記が参考になると思います．

Re: 曲面積

djwk さんのレス (2010/01/15(Fri) 18:41)

お返事遅れてすみません． 回答ありがとうございます．

質問があるのですが，

中心角 \pi/4 の円錐面で切り取られる半径 \sqrt2a の球面が２つ分

というのはどういう意味でしょうか．

積分部分の意味もよくわかりません・・・

Re: 曲面積

Yokkun さんのレス (2010/01/15(Fri) 21:22)

>円柱 y^2+z^2=a^2 >の >球 x^2+y^2+z^2=2a^2 >の内部にある部分

は，２つの部分に分けられますね？

  1. 高さ 2a ，半径 a の円柱側面
  2. 中心角 \pi/4 の円錐面で切り取られる半径 \sqrt2a の球面が２つ分

(2)はつまり，円柱によって切り取られた球面部分の面積です．下図の赤い部分になります．

Re: 曲面積

djwk さんのレス (2010/01/15(Fri) 21:34)

円錐面というのは，どの部分のことをいっているのでしょうか． 中心角 \pi/4 とはどこの角度か，円錐の底面の円はどの部分か，がわかりません・・・

Re: 曲面積

Yokkun さんのレス (2010/01/15(Fri) 21:44)

わかりにくくてごめんなさい．

積分の際に中心角を用いるために，「円柱で切り取られた球面」を，「円錐で切り取られた」としたわけです．

Re: 曲面積

djwk さんのレス (2010/01/15(Fri) 22:18)

すみません．図を載せていただいていたのにそれに気づいていませんでした． おかげさまで，どの部分かはわかりました．しかし，積分の意味がわかりません・・・

2\pi\sqrt2a というのは，球の中心を通る，半径 \sqrt2a の円の円周の長さで，それに \sin\theta をかけたものとは一体なんなのでしょうか．最後に球の半径を掛けていますが，どういう意味でしょうか．また，中心角は， \pi/2 だと思うのですが，間違っているでしょうか．

Re: 曲面積

Yokkun さんのレス (2010/01/16(Sat) 09:02)

円柱の軸からの中心角が \theta にある微小角 {\rm d}\theta によって切り取られる球面のリング状の帯の面積を考えます．その幅は \sqrt 2 a {\rm d}\theta で，半径が \sqrt 2 a\sin\theta ですから，面積は

dS = 2\pi \sqrt 2 a\sin\theta \times \sqrt 2 a {\rm d}\theta

になります．これを， 0 \leq \theta \leq \pi/4 にわたって積分すれば，丸いふたの部分の面積が得られます．

先ほどのURLにもうひとつアップした図を参考にしてください．

Re: 曲面積

djwk さんのレス (2010/01/16(Sat) 17:37)

なるほど．そういう意味でしたか． わざわざ図まで載せて頂いてありがとうございます． よくわかりました．

ありがとうございました．