一般相対論 共変微分の交換関係

一般相対論 共変微分の交換関係

りとるぱんだ さんの書込 (2010/01/07(Thu) 22:03)

学部生３年です． 一般相対論に苦戦しています． 参考書として「一般相対性理論 内山龍雄著」を読んでいて，共変微分の交換関係からリーマンテンソル R^\lambda_{\,\,\,\rho\mu\nu} を定義する，というくだりのところで困っています． 「その参考書があなたのレベルに合っていない」と言われたらその通りです．すいません． A^\mu(x)\,\! を任意の反変ベクトル場として，これを２回，共変微分します．ナブラは共変微分を表します． \nabla_\mu(\nabla_\nu A^\lambda)=\partial_\mu(\nabla_\nu A^\lambda)+\Gamma^\lambda_{\,\,\,\tau\mu} \nabla_\nu A^\tau-\Gamma^\tau_{\,\,\,\nu\mu} \nabla_\tau A^\lambda =\partial_\mu(\partial_\nu A^\lambda)+\partial_\mu (\Gamma^\lambda_{\,\,\,\rho\nu} A^\rho)+\Gamma^\lambda_{\,\,\,\tau\mu} \partial_\nu A^\tau + \Gamma^\lambda_{\,\,\,\tau\mu}\Gamma^\tau_{\,\,\,\rho\nu} A^\rho - \Gamma^\tau_{\,\,\,\nu\mu} \nabla_\tau A^\lambda =(\partial_\mu \Gamma^\lambda_{\,\,\,\rho\nu}+\Gamma^\lambda_{\,\,\,\tau\mu} \Gamma^\tau_{\,\,\,\rho\nu})A^\rho+(\mu ， \nu\,\! について対称な項 )\,\! この３行が参考書には書いてあるのですが，問題は２行目の式です． 2行目の第1項，第5項はもちろん \mu,\nu\,\! の交換に対して不変だということがわかるのですが，第3項が \mu,\nu\,\! の交換に対して不変だということが理解できません． この第3項が \mu,\nu\,\! について対称となっていることをどなたか証明お願いします． よろしくお願いします．

Re: 一般相対論 共変微分の交換関係

旅行者 さんのレス (2010/01/07(Thu) 22:38)

添え字が多くて大変ですね． 本当は実際に計算するべきなのですが，大変そうなので気付いた部分だけ指摘させてください．すみません． 2行目の2項目ですが， \Gamma は場所の関数なので，これも微分の対象になります．ですから，2項目は (\partial\Gamma)A+\Gamma\partial A と二つの項が出てきます．これと3項目とがセットで対称になるということではないのでしょうか？

Re: 一般相対論 共変微分の交換関係

yama さんのレス (2010/01/07(Thu) 23:01)

旅行者さんが指摘されている通りだと思います． 具体的には 第2項＋第3項 =\left(\partial_{\mu}\Gamma^{\lambda}_{\,\,\,\rho\nu}\right)A^{\rho}+\Gamma^{\lambda}_{\,\,\,\rho\nu}\partial_{\mu}A^{\rho}+\Gamma^{\lambda}_{\,\,\,\tau\mu}\partial_{\nu}A^{\tau} となり，右辺の第2項と第3項をひとまとめにして考えると，これは \mu,\nu の交換に対して不変ですね．

Re: 一般相対論 共変微分の交換関係

りとるぱんだ さんのレス (2010/01/09(Sat) 10:15)

おー違いない！ 質問してよかったです． 御二方素早い回答ありがとうございました． またつまったらお願いします．