２乗平均

２乗平均

トビラ．． さんの書込 (2009/12/17(Thu) 23:04)

こんばんわ ２乗平均（分散？）についてよくわからないんですが，僕の持っている本では，この２乗平均を次のように計算しています． まず，２乗平均を次のように定義します．

\left<\Delta E^2\right>=\left< \left(\sum\limits_{s=1}^fE_s-\sum\limits_{s=1}^f\left<E_s \right>\right)^2 \right>

ここで， \left<\quad \right> は平均を意味します． この計算をこの本では，この後，

=\sum\limits_{s=1}^f\sum\limits_{s^\prime=1}^f\left< (E_s-\left<E_s\right>)(E_{s^\prime}-\left<E_{s^\prime}\right>)\right>

となっているんですが，どうやってシグマを括弧の外に出したのかよくわかりません．シグマが括弧の外か内にあるかで，意味は変わってきますよね？ わからず困ってます．どうか，アドバイスお願いします．

Re: ２乗平均

yama さんのレス (2009/12/18(Fri) 00:11)

E_s-\left<E_s\right>=\Delta E_s と置くと
\left<\Delta E^2\right>=\left<\left(\sum_s \Delta E_s\right)^2\right>=\left<\sum_s\Delta E_s\sum_{s'}\Delta E_{s'}\right>=\left<\sum_s\sum_{s'}\Delta E_s\Delta E_{s'}\right>=\sum_s\sum_{s'}\left<\Delta E_s\Delta E_{s'}\right>

となることが分かるでしょう．最後のところは総和の平均が平均の総和に等しいことを用いています．

Re: ２乗平均

トビラ．． さんのレス (2009/12/18(Fri) 00:39)

yamaさんありがとうございます． なるほど！変な解釈をしていました．つまり，

\left< \sum\limits_s E_s\right>=\left< E_1+E_2+\cdots \right>

と

\sum\limits_s \left<E_s \right>=\left<E_1\right>+\left<E_2\right>+\cdots

はイコールなんですね！総和の平均が前者で，平均の総和は後者ですよね？僕には後者の方が前者より大きい値をもつように感じていたんですが，なぜかというと，前者は足した後，足した数で割ったりして平均を求めるのかと思っていたけども，そうじゃなくて，足した値（計算した後）での平均値という意味なんですね．（説明下手でごめんなさい）なるほど，感動しました．どうもありがとうございます．