お寺の鐘のうなり音について
お寺の鐘のうなり音について
yt さんの書込 (2009/12/02(Wed) 13:07)
こんにちは， 別の質問(No.25967)のレス内で mNejiさんが言及していた「鐘のうなり音」について調べていたら面白い論文を見つけました．
「Vibration analysis of a temple bell by Finite Element Method」(Proc. of Forum Acousticum Sevilla 2002) ttp://www.sea-acustica.es/Sevilla02/num06007.pdf この論文は，大阪産業大学の中西卓二さん達が，お寺の梵鐘の音響について解析したものです．(何故かスペインの音響工学系の学会誌のようです) つまみ読みしただけなので細かい所はよくわかりませんが，何となく判った部分を抜粋して説明してみます．
まず実際の梵鐘(神奈川県伊勢原市の宝城坊(日向薬師)所蔵，国の重要文化財)の材質と形状を元にしてシミュレーションを行いました．
すると，３つの固有振動モード(143.0Hz，319.0Hz，395.4Hz) が得られ，この値は実際の鐘の音と比べても大きな違いはありませんでした．
ですが，うなり音(Beat: 
1Hz)は周波数が近接した音が重ならないと生じない現象です．よってこの３つだけでは説明がつきません．
これについては，鐘の形状が回転対称から若干ずれている事が重要で，その結果 143.0Hz のモードが僅かに分裂して，うなり音が発生するのだそうです．
シミュレーションと実際のミニチュアモデルを使った解析によると，『撞座』(つきざ/どうざ，撞木で鐘を突く部分の飾り) の存在がこの分裂に大きな寄与をしているようだとの結論でした．
いろんな事を研究している人達がいるものです． ちょっと本題(No.25967)からそれた内容なので別枠で紹介させて頂きました．
Re: お寺の鐘のうなり音について
mNeji さんのレス (2009/12/02(Wed) 14:52)
ytさん，
興味深い研究ですね．『撞座』によるモード分裂とは初めて知りました．
実は，自分の家から2km程におおきな寺があり，ときどき鐘の音が聞こえて来ます．自分としては，鐘の内部と外部の構造の差が関与するのではないかと思っていましたが...．
できれば，寺の鐘を自由に触って，実験出来たら善いのですが(笑)．
Re: お寺の鐘のうなり音について
yt さんのレス (2009/12/02(Wed) 15:43)
mNeji さん，レスありがとうございます．
ちょっと絵を描く練習を兼ねて，元の論文中の分裂した２モードの動きの模式図を再現してみました．鐘を輪切りにした状態を誇張して描いています．四角いポッチが非対称をもたらす『撞座』部分を表しています．
![\setlength{\unitlength}{1.2cm}\begin{picture}(4, 4){\color[rgb]{.9,.9,.9}\multiput(0, 0)(.5, 0){9}{\line(0, 1){4}}\multiput(0, 0)(0, .5){9}{\line(1, 0){4}} }{\color{red}\qbezier(2,1)(1.3,1.3)(1,2)\qbezier(1,2)(0.8,2.8)(1,3)\qbezier(1,3)(1.2,3.2)(2,3)\qbezier(2,3)(2.7,2.7)(3,2)\qbezier(3,2)(3.2,1.2)(3,1)\qbezier(3,1)(2.8,0.8)(2,1)}{\color{blue}\qbezier(2,1)(1.2,0.8)(1,1)\qbezier(1,1)(0.8,1.2)(1,2)\qbezier(1,2)(1.3,2.7)(2,3)\qbezier(2,3)(2.8,3.2)(3,3)\qbezier(3,3)(3.2,2.8)(3,2)\qbezier(3,2)(2.7,1.3)(2,1)}{\linethickness{1.6mm}{\color[rgb]{.5,.3,.3} \put(2.8, 1.8){ \line(0,1){0.4} }}}\end{picture}\;\;\;\;\begin{picture}(4, 4){\color[rgb]{.9,.9,.9}\multiput(0, 0)(.5, 0){9}{\line(0, 1){4}}\multiput(0, 0)(0, .5){9}{\line(1, 0){4}} }{\color{red}\put(1.9,2){ \oval(2.4,1.4) } }{\color{blue}\put(1.9,2){ \oval(1.4,2.4) } }{\linethickness{1.6mm}{\color{red} \put(2.95, 1.8){ \line(0,1){0.4} }}{\color{blue} \put(2.32, 1.8){ \line(0,1){0.4} }}}\put(2.59, 2.0){ \vector(1,0){0.18} }\put(2.59, 2.0){ \vector(-1,0){0.18} }\end{picture}](http://hooktail.maxwell.jp/bbslog/edcce72b023af41328d981f97cdeb3a2.png)
左図のモードでは『撞座』が殆ど動かないのに対して， 右図のモードでは『撞座』が揺れ動きます．追加の重りの分まで運動させるために周期が長くなる(振動数が小さくなる)ようです． 本来，回転対称な形の鐘でもモードとしては左右の図のモードが元々あった．でも振動数が同じだから縮退していた．といった理解でいいような気がします．
>できれば，寺の鐘を自由に触って，実験出来たら善いのですが(笑)． お寺さんとの関係次第ですが，パラメータを変更するような実験(『撞座』を削ってみたらどうだろう(笑)とか) は困難でしょうね． 非対称性がもたらす「うなり音」を確認するだけなら，ハンドベルのような楽器にシールで重りをつけてみるのも良いかもしれません．
Re: お寺の鐘のうなり音について
mNeji さんのレス (2009/12/02(Wed) 15:58)
良く出来た絵ですね．グラフィックスの使い方をパクらせて頂こうと思います．
さて，本題ですが，『撞座』の運動エナジに対する寄与は右図の方が大きいと判ります．
他方，左図では『撞座』の捻れエナジは右図より大きいと思うのですが...．
Re: お寺の鐘のうなり音について
yt さんのレス (2009/12/02(Wed) 16:23)
mNeji さん
>他方，左図では『撞座』の捻れエナジは右図より大きいと思うのですが...． ここで許される機能を使って回転やら，ちゃんとした楕円を描くのは大変なのですよ(笑) 私は，mathTeX で練習してから描いているのですが大部試行錯誤しました． ちゃんと45度回転で重なるように描くのは，今の私には無理だと判断したため右図は少し手を抜きました．
あ，ちょっと誤解して受けとりました． 『撞座』の捻れエナジ はい元の論文では，左図のモードも振動数が若干減少しています．おそらくその影響なのでしょうね． ただ結果としては右図のモードよりも変化が少ないように書かれていました．
ん？，，，もう一回考えてみました． 右図のほうは，楕円(楕円だと思ってください(笑))の長径端，短径端の範囲で『撞座』部分の曲率が変化しているので，左図より歪みの影響は大きいように思います． 左図の方は『撞座』の若干緩い歪み変動に加えて回転運動の影響があるように思います． だから左図も手を抜いていた感じです．本当は楕円の曲線に沿って２通りの斜めポッチで表現すべきでした． ↓こんな風に
![\setlength{\unitlength}{1.2cm}\begin{picture}(4, 4){\color[rgb]{.9,.9,.9}\multiput(0, 0)(.5, 0){9}{\line(0, 1){4}}\multiput(0, 0)(0, .5){9}{\line(1, 0){4}} }{\color{red}\qbezier(2,1)(1.3,1.3)(1,2)\qbezier(1,2)(0.8,2.8)(1,3)\qbezier(1,3)(1.2,3.2)(2,3)\qbezier(2,3)(2.7,2.7)(3,2)\qbezier(3,2)(3.2,1.2)(3,1)\qbezier(3,1)(2.8,0.8)(2,1)}{\color{blue}\qbezier(2,1)(1.2,0.8)(1,1)\qbezier(1,1)(0.8,1.2)(1,2)\qbezier(1,2)(1.3,2.7)(2,3)\qbezier(2,3)(2.8,3.2)(3,3)\qbezier(3,3)(3.2,2.8)(3,2)\qbezier(3,2)(2.7,1.3)(2,1)}{\linethickness{1.6mm}{\color{blue} \qbezier(2.73, 1.7)(2.73, 1.7)(3.0, 2.15)}{\color{red} \qbezier(2.83, 1.8)(2.83, 1.8)(2.67, 2.15)}}\end{picture}](http://hooktail.maxwell.jp/bbslog/809f5fe5a83c53312daadf96ee8996dd.png)
line命令は，斜め線のときには linethickness指定の影響を受けないので， やむなく qbezier で太い斜め線を描いています． なにか間違った方法のような気はするのですが．
Re: お寺の鐘のうなり音について
mNeji さんのレス (2009/12/03(Thu) 00:14)
ytさん，
＞ここで許される機能を使って回転やら，ちゃんとした楕円を描くのは大変なのですよ(笑) ＞私は，mathTeX で練習してから描いているのですが大部試行錯誤しました． ＞ちゃんと45度回転で重なるように描くのは，今の私には無理だと判断したため右図は少し手を抜きました．
とても面倒な試行錯誤をしていただいて感謝しています．これまでは図だと，アスキー・アートしか使えないので，「円，楕円(ぽくても可)」だと手が出せずに哀しい思いをしていました．
＞『撞座』の捻れエナジ ＞はい元の論文では，左図のモードも振動数が若干減少しています．おそらくその＞影響なのでしょうね． ＞ただ結果としては右図のモードよりも変化が少ないように書かれていました．
そのようですね．私は，Fig.9の「右のDOZA」の絵を見て，印象をそのまま書いただけです．
＞左図の方は『撞座』の若干緩い歪み変動に加えて回転運動の影響があるように思います．
これまた進化していますね．真面目にソースを見て，「まねっこ練習」をしてみようと思います．
Re: お寺の鐘のうなり音について
yt さんのレス (2009/12/03(Thu) 18:19)
mNeji さん
> 真面目にソースを見て，...
グラフィックスの使い方について 綺麗な図で色々説明できるようになれば楽しいと思います． ただ，先日は座標の値とにらめっこして絵を描いていたのですが，このやり方はあまりお薦めできる道ではありません． もしLinux環境をお持ちでしたら，tgif(ドローツール) + pstoedit(変換ツール) を選択する事が可能です．他にも方法があると思います． また，pstoedit には Windows版もあるようですが試してはいません．
方法 1.tgif で描いた図を eps 形式で出力 (例: fig.eps)
2.ファイル形式を変換 pstoedit -f latex2e fig.eps fig.tex (塗りつぶし系の命令は無かった事にされてしまうようです．)
3.texファイルの中身は，begin{picture}〜end{picture} なのでここの掲示板にそのまま持ってこれます．
表示サイズは，tex命令の頭に setlength{unitlength}{0.7mm} のような命令を追加して微調整するのが簡単に思いました．
例１．楕円を回転 tex命令: 378バイト
例２．螺旋(銀河の渦巻き？)，Windows版のInkscapeで描いたものをeps出力して変換しました． tex命令:1646バイト
例３．彗星の軌道 + 数式の重ね合わせ(※) tex命令: 3685バイト．．．
![\setlength{\unitlength}{0.7mm}\begin{picture}(252.851,97.1951)(23.4077,733.887)\color[rgb]{1.000000,0.000000,0.000000}\qbezier(44.039528,813.578491)(43.845451,810.999573)(41.781094,810.755920)\qbezier(41.781094,810.755920)(39.716732,810.999573)(39.522655,813.578491)\qbezier(39.522655,813.578491)(39.716732,816.157898)(41.781094,816.402039)\qbezier(41.781094,816.402039)(43.845451,816.157898)(44.039528,813.578491)\thicklines\qbezier(44.039528,813.578491)(43.845451,810.999573)(41.781094,810.755920)\qbezier(41.781094,810.755920)(39.716732,810.999573)(39.522655,813.578491)\qbezier(39.522655,813.578491)(39.716732,816.157898)(41.781094,816.402039)\qbezier(41.781094,816.402039)(43.845451,816.157898)(44.039528,813.578491)\thinlines\color[rgb]{1.000000,1.000000,1.000000}\put(44.604137,810.755920){\line(1,0){10.162971}}\put(54.767109,810.755920){\line(0,-1){6.775269}}\put(54.767109,803.980652){\line(-1,0){10.162971}}\put(44.604137,803.980652){\line(0,1){6.775269}}\usefont{T1}{pcr}{m}{n}\fontsize{5.646093\unitlength}{5.646093\unitlength}\selectfont\color[rgb]{0.000000,0.000000,0.000000}\put(44.604137,805.109863){Sun}\color[rgb]{0.000000,0.000000,1.000000}\qbezier(270.321930,745.218140)(250.160858,729.578430)(139.085617,761.042175)\qbezier(139.085617,761.042175)(29.854763,796.027710)(29.340113,817.903687)\qbezier(29.340113,817.903687)(49.500458,833.542847)(160.579910,802.078491)\qbezier(160.579910,802.078491)(269.812988,767.093628)(270.321930,745.218140)\color[rgb]{0.373000,0.620000,0.627000}\qbezier(79.609917,823.177368)(111.792656,828.823425)(111.792656,828.823425)\qbezier(77.916092,821.483032)(110.099327,825.435791)(110.099327,825.435791)\qbezier(78.480698,824.306580)(110.099327,831.081848)(110.099327,831.081848)\color[rgb]{1.000000,1.000000,1.000000}\put(76.786873,815.272827){\line(1,0){16.938278}}\put(93.725151,815.272827){\line(0,-1){6.775330}}\put(93.725151,808.497498){\line(-1,0){16.938278}}\put(76.786873,808.497498){\line(0,1){6.775330}}\color[rgb]{0.000000,0.000000,1.000000}\put(76.786873,809.626709){Comet}\qbezier(76.680977,825.474915)(76.461456,822.381409)(76.461456,822.381409)\qbezier(76.461456,822.381409)(78.574745,821.530212)(78.574745,821.530212)\qbezier(78.574745,821.530212)(76.347733,820.832581)(76.347733,820.832581)\qbezier(76.347733,820.832581)(76.532021,817.973938)(76.532021,817.973938)\qbezier(76.532021,817.973938)(75.132294,820.129944)(75.132294,820.129944)\qbezier(75.132294,820.129944)(72.905167,819.432312)(72.905167,819.432312)\qbezier(72.905167,819.432312)(74.536263,821.561340)(74.536263,821.561340)\qbezier(74.536263,821.561340)(73.136528,823.714355)(73.136528,823.714355)\qbezier(73.136528,823.714355)(75.249931,822.867249)(75.249931,822.867249)\qbezier(75.249931,822.867249)(76.680977,825.474915)(76.680977,825.474915)\thicklines\qbezier(76.680977,825.474915)(76.461456,822.381409)(76.461456,822.381409)\qbezier(76.461456,822.381409)(78.574745,821.530212)(78.574745,821.530212)\qbezier(78.574745,821.530212)(76.347733,820.832581)(76.347733,820.832581)\qbezier(76.347733,820.832581)(76.532021,817.973938)(76.532021,817.973938)\qbezier(76.532021,817.973938)(75.132294,820.129944)(75.132294,820.129944)\qbezier(75.132294,820.129944)(72.905167,819.432312)(72.905167,819.432312)\qbezier(72.905167,819.432312)(74.536263,821.561340)(74.536263,821.561340)\qbezier(74.536263,821.561340)(73.136528,823.714355)(73.136528,823.714355)\qbezier(73.136528,823.714355)(75.249931,822.867249)(75.249931,822.867249)\qbezier(75.249931,822.867249)(76.680977,825.474915)(76.680977,825.474915)\end{picture}\kern-14.5cm\raise4cm\hbox{|9a298aaea65e2c32538ad631792757e1|}](http://hooktail.maxwell.jp/bbslog/3c21b67a7def682ba3861070aa75a8a0.png)
注：重ね合わせ
pictureの内側にはなるべく手を付けたくないので，
begin{picture}〜end{picture} に続けて
kern-14.5cmraise4cmhbox{
}
を追加して後から数式を強引に割り込ませています．位置調整は目分量です．
とりあえず自分の中ではこれを「kern/raiseテクニック」と命名しました．
ただの円や直線なのにやたらとqbezier命令で描くといった無駄が多いようで， 更に複雑な絵になるとあっと言う間にサイズが膨れ上がります． サーバーの負担になるようなら，あまり気軽に絵は入れられないように思いました． 簡単な図形ならこの方法もアリかと思うのですが，ここの管理人さん的にはどこまでＯＫなんでしょうね． そもそも，「数式」掲示板なのだから，なるべく絵は控えるべきであるといった意見もあるかもしれません．
別枠でみなさんと話し合うべき問題かもしれないと思ったのですが，遠慮してやめました． 絵の描きかたについて云々⇒大きな絵をアップ⇒サーバーダウン の流れは嫌すぎるので(笑) 或いは，管理人さんに規約（例えば，１レス何バイトまで，その内tex命令何バイトまで）を追加してもらうとか？ どう話を持っていけば良いのかよく分からないです．．．気にしなくても良いのでしょうか？
Re: お寺の鐘のうなり音について
mNeji さんのレス (2009/12/04(Fri) 00:21)
ytさん，色々なご提案を下さり，有難いです．
＞1.tgif で描いた図を eps 形式で出力 (例: fig.eps) ＞2.ファイル形式を変換 ＞pstoedit -f latex2e fig.eps fig.tex
これは最終的に「点群データ」として渡すことになるのでしょうね．
＞例３．彗星の軌道 + 数式の重ね合わせ(※) ＞tex命令: 3685バイト．．．
こんな感じで，図と説明数式が入ると嬉しいです．
＞サーバーの負担になるようなら，あまり気軽に絵は入れられないように思いました． ＞簡単な図形ならこの方法もアリかと思うのですが，ここの管理人さん的にはどこまでＯＫなんでしょうね． ＞そもそも，「数式」掲示板なのだから，なるべく絵は控えるべきであるといった意見もあるかもしれません．
ここら辺は，皆目見当が付かないのです．サーバの負荷と，変な投稿とかの対応策が用意されないと駄目かもしれませんね．
＞どう話を持っていけば良いのかよく分からないです．．．気にしなくても良いのでしょうか？
私は，グラフィックスが苦手なのですが，管理人さんや他の方でも得意の方々などから助言を戴けたらいいですよね．
Re: お寺の鐘のうなり音について
CO さんのレス (2009/12/10(Thu) 23:51)
こんばんは，COです． 久々に掲示板をのぞいたら，何故か絵が載っていたのでびっくりしました．
当掲示板で画像タグを許可していないのは， 関係のない画像が貼られた場合に，すぐに対処できる体制にないからです． 画像は文字の場合よりもインパクトが大きいため，心配しています．
試しに一度，一定期間だけ解放してみるということはやってみても良いかも．
