projection tensor

projection tensor

aby さんの書込 (2009/11/15(Sun) 15:30)

任意のベクトルを超曲面に射影するprojection tensorは \gamma_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+n_{\mu}n_{\nu}-(1) と定義されるそうです．ここで， n_{\nu}=(1,0,0,0) の超曲面に垂直な単位ベクトルです． 任意のベクトル a^{\mu} に作用させると \gamma^{\mu}_{\nu}a^{\nu}=a^{\mu}+n^{\mu}a^{0}=(0,a^{i}) となり，確かにベクトルの空間成分を取り出すのがわかります． いろいろ調べたところ，このprojection tensorは三次元のmetricになっているそうですが，それを証明することは可能ですか？ 上の式を三次元metricの定義として，いきなり導入しているものが多いのですが，僕は「projection tensor=metric tensor」というのが自明とは思えず，気になります． metricを(1)式のように分解すると， \gamma_{\mu\nu}n^{\nu}=0 となるから， \gamma_{\mu\nu} はmetricの空間部分だよ，という論理は成り立ちますでしょうか？