電磁気学の微分方程式
電磁気学の微分方程式
ボー さんの書込 (2009/10/25(Sun) 11:48)
はじめまして．ボーといいます．
定常電流に関する問題で， q/C=-R(dq/dt)+(Q-q)/C'(1) (C,C'は電気容量，q,Qは電荷量，Rは抵抗値でQ=CVです) というqに関する微分方程式が解けません． 答えはq=CV ^2/(C+C')+Aexp{-(C+C')t/RCC'}(Aは定数) となるようです． (1)式をq=の形に変形するとCV ^2/(C+C')は出たのですが， 後半のAexp{-(C+C')t/RCC'}の求め方がわかりません． どのように計算すればよいのでしょうか．
よろしくおねがいします．
Re: 電磁気学の微分方程式
mNeji さんのレス (2009/10/25(Sun) 12:31)
ボーさん，初めまして．
＞定常電流
というより電流の過渡現象といったほうが適切かと思います．
初めに容量C'に電荷Qを帯電させ，帯電していない容量Cと抵抗Rを直列にしたもので，容量C'を短絡させた時の電流の振る舞いを考えているのでしょうかね．
式(1)で，C'' ≡ C // C'として，次のように変形すると，
Rdq/dt = -q/C'' + Q/C' = -[ q -(C''/C')Q]/C''
となりますから，新たにp ≡ q -(C''/C')Q とすると，上の式は；
Rdp/dt = -p/C''
となって，pとtとは変数分離の関係になるので，後はなんとかなりますよね．
微分方程式で「定数項」が入った時は，この手の変数変換をすれば見通しがよくなることがしばしば起きます．
Re: 電磁気学の微分方程式
ボー さんのレス (2009/10/25(Sun) 21:49)
mNejiさん，ありがとうございます． 式を見ただけで現象がわかってしまうなんて・・驚きました．
最終的な答えが間違っていました． 第一項が，CV ^2/(C+C')ではなく=C^2V /(C+C')でした．
あと， C // C'というのはCC'/(C+C')のことでよいのでしょうか．
Re: 電磁気学の微分方程式
mNeji さんのレス (2009/10/25(Sun) 21:59)
＞あと， C // C'というのはCC'/(C+C')のことでよいのでしょうか．
あ，「C // C'」というのは間違っていますね．「CとC'が直列とした時の等価容量C''」と言いたかったので，
1/C'' = 1/C + 1/C' = (C+C')/CC'
と書くのが面倒になって，間違いをしたようです．ご免なさい．
