みすずかる さんの書込 (2009/10/06(Tue) 11:45)

はじめまして．みすずかると申します．よろしくおねがいします．

「代数学」

• http://hooktail.org/misc/index.php?%C2%E5%BF%F4%B3%D8

を拝読いたしまして 「正n角形で，コンパスと定規だけで作図可能なのはφ(n)が2の累乗のものに限ります．」 ということは分かったのですが， そのことは

正n角形が作図可能⇒φ(n)が2の累乗

のことを言っているのであって 必ずしもその逆

φ(n)が2の累乗⇒正n角形が作図可能

は成り立つとは限らないということだと思ったのですが 当ってますでしょうか． （もちろん作図不可能を証明する手段として「作図可能⇒φ(n)が2の累乗」の対偶である「φ(n)が2の累乗でない⇒作図不可能」を用いる意義があります．）

mNeji さんのレス (2009/10/06(Tue) 20:05)

みすずかるさん，初めまして．

難しいことは判りませんが，正方形(正2^2角形)の作図は可能です，さらに角の二分割は可能ですから，常に正2^n角形(n>=2)は作図可能ではないでしょうか．

その代り，正奇数角形は，ひとつひとつ吟味しないと作図の可能性は言えないのではないでしょうか．勿論，一度作図出来たばあい，その倍の作図は可能ですが，奇数ではなくなりますね．

なにか変ですかね？

みすずかる さんのレス (2009/10/07(Wed) 11:24)

mNejiさん，返信ありがとうございます． こちらこそはじめまして．よろしくおねがいします．

φ(n)とは n以下のnと互いに素である整数の個数のことで， 例えばn=5の場合 5以下の5と互いに素である整数は 1,2,3,4 の四つありますので φ(5)=4 n=6の場合 1,5 の二つが挙げられますので φ(6)=2 という具合です． （えらそうに言ってますが，Johさんの記事を拝読して勉強させていただいてます．Johさんに感謝ｍ（＿＿）ｍ）

ここから先はよく理解できていないので嘘をついているかもしれません．（汗） 正多角形は円周を等分する点をぐるりと結んでいって描けますので， 複素平面上の単位円を考えて

x^n-1=0

の解が正n角形の各頂点になります． そのときの解の実部ならびに虚部が 2m乗根や加減乗除で書き表せられるならば， コンパスと定木で作図可能です． また，その逆も真です． まとめると

1のn乗根が2m乗根や加減乗除で書き表せられる（それとiで） ⇔ 正n角形がコンパスと定木で作図可能

です． ところが，「φ(n)が2の累乗」というのは 「1のn乗根が2m乗根や加減乗除で書き表せられる」とは同値ではない． （…のかもしれません．ここが私の疑問です．） あくまでも

1のn乗根が2m乗根や加減乗除で書き表せられる ⇒ φ(n)が2の累乗

という一方通行の方向の矢印だけ？！ 拡大次数が2の累乗になる可能性があるのは， 2の倍数乗根以外にもありそうな気がするのです． それとも正多角形に限ると同値の関係になるのでしょうか．

mNeji さんのレス (2009/10/07(Wed) 18:40)

みすずかるさん，

間違いを書いてしまって，申し訳ありませんでした．その後，変だとは思ったのですが，急用が立て続けに起こってしまい，連絡出来ませんでした．

前言は撤回させて下さい．滅茶苦茶な意見をお詫びします．

みすずかる さんのレス (2009/10/08(Thu) 10:41)

はい．（・ω・）