極座標

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極座標

マジンガさんの書込 (2009/08/12(Wed) 13:58)

$\bf e \rm _r(t)$ ：動径の増大する向きにとった単位ベクトル

$\bf e \rm _\theta(t)$ ：天頂角 $\theta$ の増大する向きにとった単位ベクトル $\bf e \rm _\phi(t)$ ：方位角 $\phi$ の増大する向きにとった単位ベクトル

デカルト座標と極座標の関係

$x = r sin\theta cos\phi$

$y = r sin\theta sin\phi$

$z = r cos\theta$

これをデカルト座標系における $\bf r \rm = x \bf i \rm + y \bf j \rm + z \bf k \rm$ に代入すると

$\bf r \rm = (rsin\theta cos\phi)\bf i \rm + (rsin\theta sin\phi)\bf j \rm + (rcos\theta)\bf k \rm$

$\delta \bf r \rm = \delta r(\bf i \rm sin\theta cos\phi + \bf j \rm sin\theta sin\phi + \bf k \rm cos\theta) + r \delta\theta(\bf i \rm cos\theta cos\phi + \bf j \rm cos\theta\sin\phi - \bf k \rm sin\theta) + r (sin\theta)\delta\phi(-\bf i \rm sin\phi + \bf j \rm cos\phi)=\delta r \bf e \rm _r + r\delta\theta \bf e \rm _\theta + r (sin\theta) \delta\phi \bf e \rm _\phi$

座標軸間の関係

$\bf e \rm _r = (sin\theta cos\phi)\bf i \rm + (sin\theta sin\phi)\bf j \rm + (cos\theta)\bf k \rm\\\bf e \rm _\theta = (cos\theta cos\phi)\bf i \rm + (cos\theta sin\phi)\bf j \rm - (sin\theta)\bf k \rm$

$\bf e \rm _\phi = -(sin\theta)\bf i \rm + (cos\phi)\bf j \rm$

$\rightarrow \nabla = \bf e \rm _r \frac{\partial}{\partial r} + \bf e \rm _\theta \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta} + \bf e \rm _\phi \frac{1}{rsin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}$

極座標の座標軸の時間変化

$\bf \dot{e} \rm _r = \dot{\theta} \bf e \rm _\theta +\dot{\phi}sin\theta \bf e \rm _\phi$

$\bf \dot{e} \rm _\theta = -\dot{\theta} \bf e \rm _r +\dot{\phi} cos\theta\bf e \rm _\phi$

$\bf \dot{e} \rm _\phi = -\dot{\phi} sin\theta \bf e \rm _r - \dot{\phi} cos\theta \bf e \rm _\theta$

すなわち

$\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{ccc}\bf e \rm _r \\\bf e \rm _\theta \\\bf e \rm _\phi \\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0 & \dot{\theta} & \dot{\phi}sin\theta \\-\dot{\theta} & 0 & \dot{\phi}cos\theta \\-\dot{\phi}sin\theta & -\dot{\phi}cos\theta & 0 \\\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\bf e \rm _r \\\bf e \rm _\theta \\\bf e \rm _\phi \\\end{array}\right]$

よって，

$\bf \dot{r} \rm = \dot{r} \bf e \rm _r + r \dot{\theta} \bf e \rm _\theta + r\dot{\phi}sin\theta \bf e \rm _\phi$

$\bf \ddot{r} \rm = (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2 + r\dot{\phi}^2sin^2\theta)\bf e \rm _r + (2\dot{r}\dot{\theta} + r \ddot{\theta} - r\dot{\phi}^2 sin\theta cos\theta) \bf e \rm _\theta + (2\dot{r}\dot{\phi}sin\theta + 2r\dot{\theta}\dot{\phi} cos\theta + r \ddot{\phi}sin\theta) \bf e \rm _\phi$

【問題】極座標系での速度及び加速度ベクトルが上のように表せることを示せ．

プリントにこのような問題があるんですがプリントに書いてあるのがそのまま答えな気もしますが，いまいち理解できません．「座標軸間の関係」からわからないです．何故 $\bf e \rm _r$ , $\bf e \rm _\theta$ , $\bf e \rm _\phi$ が上のようになるのか…

Re: 極座標

toorisugari no Hiro さんのレス (2009/08/12(Wed) 14:50)

> 何故 $\bf e \rm _r$ , $\bf e \rm _\theta$ , $\bf e \rm _\phi$ が上のようになるのか…

微分を計算するだけです．

$\bm{r} &\doteq \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}r \sin\theta \cos\phi\\r \sin\theta \sin\phi\\r \cos\theta\end{pmatrix}\\\mathrm{d}\bm{r} &\doteq \begin{pmatrix}\mathrm{d}x\\\mathrm{d}y\\\mathrm{d}z\end{pmatrix}\\&=\mathrm{d} r\begin{pmatrix}\sin\theta \cos\phi\\\sin\theta \sin\phi\\\cos\theta\end{pmatrix}+r \mathrm{d}\theta\begin{pmatrix}\cos\theta \cos\phi\\\cos\theta \sin\phi\\-\sin\theta\end{pmatrix}+r \sin\theta \mathrm{d}\phi\begin{pmatrix}-\sin\phi\\\cos\phi\\0\end{pmatrix}\\&\equiv\mathrm{d} r \,\bm{e}_r + r \mathrm{d}\theta \,\bm{e}_\theta + r \sin\theta \mathrm{d}\phi \,\bm{e}_\phi$

そもそも $\bm{e}_r, \bm{e}_\theta, \bm{e}_\phi$ は

$\bm{e}_r = \frac{\frac{\partial \bm{r}}{\partial r}}{\left|\frac{\partial \bm{r}}{\partial r}\right|}, \bm{e}_\theta = \frac{\frac{\partial \bm{r}}{\partial \theta}}{\left|\frac{\partial \bm{r}}{\partial \theta}\right|}, \bm{e}_\phi = \frac{\frac{\partial \bm{r}}{\partial \phi}}{\left|\frac{\partial \bm{r}}{\partial \phi}\right|}$