変形オイラーの方程式における重積分の扱いについて

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変形オイラーの方程式における重積分の扱いについて

YAS_YAS さんの書込 (2009/07/12(Sun) 15:14)

はじめまして，YAS_YASと申します．m(＿＿)mペコ

某社の技術職をしています．数学が苦手なので，このサイトでいつも勉強させて頂いております．

この数日間， googleなどのネット情報，本屋，図書館など考えられる限りの文献を当たってみたのですが，解決の糸口が見つからないので投稿させて頂きました．

悩んでいる問題ですが，このサイトの「物理数学/変分法2」で取り上げている「色々な変形オイラー方程式」の７番です

この項では，それまで1つだった独立変数を2つに拡張した場合のオイラー方程式を扱っており，汎関数を次式としてしています．

$I \equiv \int_{a_2}^{b_2}\ \int_{a_1}^{b_1}f(x_1, x_2, u, u_{x_1}, u_{x_2}) \mathrm{d}x_1\mathrm{d}x_2$

ここで， x_1,x_2 が独立変数で，は従属変数です．

の微小な変化を，任意の微小量 $\epsilon$ と任意の関数 $\eta(x_1,x_2)$ を使って

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としているので，の x_1,x_2 による偏微分 $u_{x_1},u_{x_2}$ も従属変数になります．

汎関数の<tex?epsilon</tex> による微小変化を使って，停留値問題に持ち込んでおり

$\frac{\partial I}{\partial \epsilon} =\int_{a_2}^{b_2}\ \int_{a_1}^{b_1}\left(\frac{\partial f}{\partial u}\ \eta+ \frac{\partial f}{\partial u_{x_1}}\ \eta_{x_1}+\frac{\partial f}{\partial u_{x_2}}\ \eta_{x_2}\right)\mathrm{d}x_1\mathrm{d}x_2 = 0$

として，右辺の第二項，第三項を x_1,x_2 で部分積分する流れになっています．

ここまでは従来通りの流れなので，ついていけたのですが，重積分の部分積分をした次の式で，わたしの理解が破たんしました．（重積分の部分積分をした経験はわたしにはありません）

$\left[\frac{\partial f}{\partial u_{x_1}}\ \frac{\partial^2 \eta}{\partial x_1^2}\ \right]_{a_1}^{b_1}+\left[\frac{\partial f}{\partial u_{x_2}}\ \frac{\partial^2 \eta}{\partial x_2^2}\ \right]_{a_2}^{b_2}+\int_{a_2}^{b_2}\ \int_{a_1}^{b_1}\left\{\frac{\partial f}{\partial u}-\frac{\mathrm d}{\mathrm x_1}\left(\frac{\partial f}{\partial u_{x_1}}\right)-\frac{\mathrm d}{\mathrm x_2}\left(\frac{\partial f}{\partial u_{x_2}}\right)\right\}\ \eta\mathrm{d}x_1\mathrm{d}x_2$

まず，第一項の中身ですが，従来ならば

$\frac{\partial f}{\partial u_{x_1}}\ \eta$

のように，右側の項は積分された形になり，第三項の

$-\int_{a_2}^{b_2}\ \int_{a_1}^{b_1}\frac{\mathrm d}{\mathrm x_1}\left(\frac{\partial f}{\partial u_{x_2}}\right)\ \eta\mathrm{d}x_1\mathrm{d}x_2$

の $\eta$ に対応しなければ，後で $\eta$ について括りだせないはずです．ところが実際は

$\frac{\partial f}{\partial u_{x_1}}\ \frac{\partial^2 \eta}{\partial x_1^2}\$

のように，逆に x_1 でさらに偏微分した形になっています．

また，積分範囲が x_1 の範囲だけで，

$\left[\frac{\partial f}{\partial u_{x_1}}\ \frac{\partial^2 \eta}{\partial x_1^2}\ \right]_{a_1}^{b_1}$

のようになされているのですが，このとき x_2 側の積分範囲の扱いはどうなるのでしょう？項自体は定数になるはずなので，項中の x_2 には a_2,b_2 の値が何らかの形で入るはずと思われるのですが， $[\ ]$ 内は１項しか存在してないので， a_2 を代入した項， b_2 を代入した項と分かれているいるわけでもないようです．また，単に (b_2-a_2) という係数が掛けられているわけでもないのでどのように扱われているのかもわかりません．右辺，第二項についても同様のことが言えます．