振り子の運動 さんの書込 (2009/06/09(Tue) 11:00)

申し遅れました．ネリエルです． この問題がどうしても解けません＞＜ どなたかご回答お願いします．

質量ｍで，長さはわからない振り子があります．おもりを少し引いて静かに離したところ，t．秒後に再び速度０になり，そのとき，接線方向の力の大きさがFであった．振り子の動き始めたときをｔ＝０とし，重力加速度をｇとすると， 周期T角周波数ω振れ幅A，振り子の長さL速度ｖ角度θを求めよ （ただし，振りが十分小さいものとする）

mNeji さんのレス (2009/06/09(Tue) 20:33)

できれば，問題全体を引用して頂けませんか．また問題の図を説明出来ますか？

私が不思議なのは ・接線方向の力の大きさがFであった．←どうやって調べる？ ・t．秒後に再び速度０になり←1周期の時間？

Yokkun さんのレス (2009/06/10(Wed) 00:01)

ネリエルさん，こんばんは．

静かに放した後，最初に再び速度がゼロになるのはどのときでしょう？ そして，振子の周期とはどういう時間でしょうか？

まずは，この点を解決しませんか？

豚 さんのレス (2009/06/14(Sun) 18:37)

はじめまして．面白そうなＰＡＧＥですね． たしかに，いかにも不自然で，あまりいい問題とはいえないようですね．

>・接線方向の力の大きさがFであった．←どうやって調べる？

せめて法線方向（糸の張力）とすればまだしも現実的？

>・t．秒後に再び速度０になり←1周期の時間？

最初に速度が０になるのは振り子が反対側に行ききったときでしょう？ つまり，片道の時間です． 普通，周期は１往復の時間ですから，この倍でしょうね．

ネリエルさんの問題は次のように整理していいですか？

支点Ｑ（０，Ｌ）から吊るされ，静止時に原点Ｏ（０，０）にある質量ｍの振り子 （ただし，振り子の長さＬは未知）を 点Ｐ１（Ｘ０，Ｙ０）まで引き，（座標Ｘ０，Ｙ０は未知） 静かに手を離したらあるところから減速してt．秒後に速度が０になった． その瞬間の接線方向の力（どうやって測るのか知らないけれど）はＦであった． 振り子の動き始めたときをｔ＝０とし，重力加速度をｇとすると， 周期T角周波数ω振れ幅A，振り子の長さL速度ｖ角度θを求めよ （ただし，振りが十分小さいものとする）

ここで，周期Ｔと振り子の長さL，振れ幅Aはいいとして，角周波数ωとは， 単純に振動数ｆ（＝１／Ｔ）を２π倍したものでいいのでしょうか？ また，速度ｖは単純に最大速度を求めればいいの？ それとも，「振り子の動き始めたときをｔ＝０とし」とあるから 時間の関数として導かなきゃ駄目？ 角度θも，左に行ききった点〜支点〜右に行ききった点のなす角度でいいの？ それとも，これも例えば鉛直線に対する角度で時間の関数？ （ただし，振りが十分小さいものとする） とは， sinX=X,cosX=1-(X^2)位の近似でいいということでしょうか？

transfer さんのレス (2009/06/15(Mon) 00:25)

解いてはいませんが，参考に記します． 振れ角が小さい場合は，豚さんが記しておられる近似式を使います． sin x ≒ x, cos x ≒ 1 で十分でしょう．

振り子は鉛直方向を基準に，左右にぶらぶら円弧を描いて揺れますが， 右側の最大の振れ → 振れゼロ（鉛直軸方向） → 左側の最大の振れ → 振れゼロ（鉛直軸方向） → 右側の最大の振れ となって，元の場所に戻ってきたときが一周期です． 問題文で速度ゼロとあるのは，右側または左側で最大の振れになったときです． 円弧に沿ったおもりの速さと，上の振れの状態を対比させると， 右側で速さゼロ → 最大の速さ（鉛直軸方向） → 左側で速さゼロ → 最大の速さ（鉛直軸方向） → 右側で速さゼロ となります． 問題文では，おもりを少し引いて離すとありますから，左右どちらかの最大の振れ角のところで離したわけで，それから t0 秒後に反対側の最大振れ角（そこで速さが再びゼロになる）になったわけですから，一周期は 2 t0 秒です．

振り子が左右にぶらぶら揺れるのは，バネを引き延ばして手を離して振動させるのと同じような運動です． ただし，振り子は円弧を描きますので，水平方向に揺れるバネの振動とは少し異なります． この，「円弧を描く」というのと，問題文にある接線方向の力 F が関係します． 接線方向というのは，円弧の接線方向のことです． そして，接線方向の力と，バネの復元力は同じような位置づけになります． 振り子の接線方向の力は円弧に沿っているので，バネの水平方向の力とは，まったく同じ位置づけにはなりません． しかし，問題文では，振れ角が十分に小さいとしてよい，となっていますので，これが使えます． 振れ幅 A を求めることが要求されていますが，これは恐らく円弧の弦にあたる水平方向の長さのことだと思います．（振れ角が十分に小さいので，円弧の長さと大して変わりません）

振り子のおもりに働く力は，重力とおもりを吊す糸の張力です． 張力の方向は常に円弧の円の半径方向で，円弧の接線方向とは直角な方向ですから，F にはまったく関係しません． 残りは重力です．重力は，糸が振れて鉛直方向に対して角度を持っていれば，sin, cos で分解できます． よって，重力を分解した成分が，F と関係します．