宿題の途中の式

ゆいさんの書込 (2009/06/02(Tue) 13:45)

$(\boldsymbol{v}\cdot \nabla )\gamma \boldsymbol{v}=(\nabla \times \gamma \boldsymbol{v})\times \boldsymbol{v}+\nabla \gamma c^2$

となることを証明したいのですがうまくいきません．ここで $\gamma =1/\sqrt{1-(v/c)^2}$ ， $\boldsymbol{v}$ は三次元の速度ベクトルです．公式 $\nabla (\boldsymbol{v}\cdot \gamma \boldsymbol{v})=\boldsymbol{v}\times (\nabla \times \gamma \boldsymbol{v})+\gamma \boldsymbol{v}\times (\nabla \times \boldsymbol{v})+(\boldsymbol{v}\cdot \nabla)\gamma \boldsymbol{v}+(\gamma \boldsymbol{v}\cdot \nabla )\boldsymbol{v}$ を使って

$(\boldsymbol{v}\cdot \nabla )\gamma \boldsymbol{v}=(\nabla \times \gamma \boldsymbol{v})\times \boldsymbol{v}+\nabla (\gamma v^2)-\gamma v\nabla v$

となったんですが， $\nabla \gamma c^2$ の項が出ません．教えていただけないでしょうか

Re: 宿題の途中の式

toorisugari no Hiro さんのレス (2009/06/02(Tue) 15:28)

$(\bm{v}\cdot \nabla )(\gamma \bm{v})=(\nabla \times \gamma \bm{v})\times \bm{v}+(\nabla \gamma) v^2 + \gamma v\nabla v$

の間違いでは? # 追記間違っていませんでしたね．

さらに， $\nabla \gamma$ を計算すると， $v\nabla v$ の係数倍であることが分かるので，それを利用して，最後の2項は $c^2 \nabla \gamma$ になります．

Re: 宿題の途中の式

ゆいさんのレス (2009/06/02(Tue) 15:50)

ありがとうございます． $\nabla (\boldsymbol{v}\cdot \gamma \boldsymbol{v})=\nabla (\gamma v^2)$ と考えたのですが $\nabla$ は $\gamma$ だけでなくに作用するので括弧の外には出せないと思いました．計算間違いでしょうか

Re: 宿題の途中の式

toorisugari no Hiro さんのレス (2009/06/02(Tue) 16:02)

$\{(\nabla\times\bm{a})\times\bm{b}\}_i &= b_k \partial_k a_i - b_k \partial_i a_k\\&= \{(\bm{b}\cdot\nabla)\bm{a}\}_i - b_k \partial_i a_k\\\therefore\{(\bm{b}\cdot\nabla)\bm{a}- (\nabla\times\bm{a})\times\bm{b}\}_i &= b_k \partial_i a_k$

より

$\{(\bm{v}\cdot \nabla )(\gamma \bm{v})- (\nabla \times (\gamma \bm{v}))\times \bm{v}\}_i &= v_k \partial_i (\gamma v_k)\\&= v_k v_k \partial_i \gamma + \gamma v_k \partial_i v_k \\&= v^2 \partial_i \gamma + \gamma \partial_i v^2/2 & (v^2=v_kv_k)\\&= v^2 \partial_i \gamma + \gamma v \partial_i v\\&= \{ v^2 \nabla \gamma + \gamma v \nabla v \}_i$

ですよね．

# 追記以上より

$(\bm{v}\cdot \nabla )(\gamma \bm{v})- (\nabla \times (\gamma \bm{v}))\times \bm{v} &= v^2 \nabla \gamma + \gamma v \nabla v\\&= v\nabla(\gamma v)$

ですが， $\gamma = (1-\beta^2)^{-1/2}~~(\beta=v/c)$ より

$v\nabla(\gamma v) &= c^2 \frac{\sqrt{\gamma^2-1}}{\gamma}\nabla {\sqrt{\gamma^2-1}}\\&= c^2 \nabla \gamma$

となります．

Re: 宿題の途中の式

ゆいさんのレス (2009/06/02(Tue) 16:50)

すいません． $\partial_i$ とかで表示するやりかたはまだ勉強してなくてわかりません．

Re: 宿題の途中の式

Yokkun さんのレス (2009/06/02(Tue) 18:02)

ゆいさん，こんばんは．

$\nabla(\gamma v^2)-\gamma v\nabla v &= v^2 \nabla \gamma + 2\gamma v \nabla v - \gamma v\nabla v &= c^2 \nabla \gamma$

になると思います．

toorisugari no Hiroさん，ひょっとして左辺は $(\bm{v}\cdot\nabla)\gamma \bm{v}=(\bm{v}\cdot\nabla\gamma)\bm{v}$ でよいのではないでしょうか？

Re: 宿題の途中の式

toorisugari no Hiro さんのレス (2009/06/02(Tue) 19:30)

元の式はあってました．というか，どれも一緒ですね．

> toorisugari no Hiroさん，ひょっとして左辺は |3aaf4d746a65051a8573c25da093c4f2| でよいのではないでしょうか？

$(\bm{v}\cdot\nabla)(\gamma \bm{v})$ としないとでないと思いますが．たぶん．

Re: 宿題の途中の式

Yokkun さんのレス (2009/06/03(Wed) 08:45)

toorisugari no Hiroさん，No.23994を追跡して確認できました．混乱させてごめんなさい．

ゆいさん， $\partial_i$ 等の記法はとても便利なのでこの際覚えられるとよいと思います．理解すべきルールは２つ．まず，定義は

$\partial_i = \frac{\partial}{\partial x_i}$

で，添字 i=1,2,3 に対して x,y,z を割り当てます．微分演算子 $\nabla$ をちょうどベクトルと同じにあつかって，添字でその成分を表すわけです．

$\nabla\cdot\bm{A}=(\partial_1,\partial_2,\partial_3)\begin{array}{c} \\ \left(\begin{array}{c} A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{array}\right)\end{array} = \sum_{i=1}^3\frac{\partial A_i}{\partial x_i}$

という具合．もう１つは，アインシュタインの和の規約．たとえば，内積を

$\bm{a}\cdot\bm{b} = a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 = \sum_{i=1}^3a_ib_i = a_ib_i$

と略記します．同じ添字がひとつの項の中に現れたら和をとるというルールです．すると，

$b_k\partial_ia_k=\sum_{k=1}^3 b_k\frac{\partial a_k}{\partial x_i}$

等ということになります．慣れるのにちょっと時間がかかるかもしれませんが，記述がすっきり簡略化されてとても便利ですよ．

Re: 宿題の途中の式

toorisugari no Hiro さんのレス (2009/06/03(Wed) 10:09)

Yokkunさんfollowありがとうございます．

> 混乱させてごめんなさい．

いえいえ，こちらも計算間違いしていたので，お気になさらずに．

$\{(\nabla\times\bm{a})\times\bm{b}\}_i &= b_k \partial_k a_i - b_k \partial_i a_k$

を自己followしておきます．

ベクトル3重積の公式より

$\{(\bm{c}\times\bm{a})\times\bm{b}\}_i&= \{ (\bm{c}\cdot\bm{b})\bm{a}-(\bm{a}\cdot\bm{b})\bm{c}\}_i &= c_k b_k a_i - a_k b_k c_i$

となります． $\{(\nabla\times\bm{a})\times\bm{b}\}_i$ は $\bm{c}$ を $\nabla$ に置き換えればいいのですが，一つ注意点があります．

$\nabla$ は微分演算子で $\bm{a}$ に作用しています．ですから， c_i を $\partial_i$ に変えるとき $\partial_i$ の右に $a_{*}$ がくるように順番を変えなければいけません．

よって

$\{(\nabla\times\bm{a})\times\bm{b}\}_i &= b_k \partial_k a_i - b_k \partial_i a_k$

が得られます．

いずれレビチビタの3階完全反対称テンソル

$\varepsilon_{ijk} &=\begin{cases}1& ((i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2))\\-1& ((i,j,k)=(3,2,1),(2,1,3),(1,3,2))\\0& (\text{otherwise}) \end{cases}$

と公式

$\{\bm{a}\times\bm{b}\}_i &= \varepsilon_{ijk}a_j b_k\\\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{kmn} &= \delta_{im}\delta_{jn}-\delta_{in}\delta_{jm}$

を使って計算する方法も習われると思います．

Re: 宿題の途中の式

ゆいさんのレス (2009/06/03(Wed) 12:46)

toorisugari no Hiroさん，Yokkunさんありがとうございました．無事導出できました．テンソル表示は今後勉強していきたいと思います．

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