いっぱいいっぱい さんの書込 (2009/05/17(Sun) 07:45)

はじめまして，数学や物理の知識があまりない初心者です． 下記の曲率半径を求めたくて連絡しました． インターネットでの検索結果では，難しい数式が多く実用的な数式を検索できず，このサイトの掲示板に辿りつきました． 『円弧があり，その両端をa,bとする円弧の曲率半径を求めたいと思います．』 aとbの直線距離がL，そのLから円弧の最も膨らんだ部分までの距離をDとします． LとDを測定して，両端をa,bとする円弧の曲率半径を求める式を教えてください．

mNeji さんのレス (2009/05/17(Sun) 10:22)

簡易に求めてみました．

点Oを中心に半径Rの円があるとします．その円周上に，点A,Bがあり，点A,Bの中点をMとします．点OからMに向かって直線を引き，その延長が円と交差をする点をCとします．

こうすると，題意より，

L = |AB|, (1) D = |MC|, (2)

よって， |OM| = |OC| - |MC| = R -D. (3)

また三角形AOMと三角形BOMとは合同ですから，

|AM| = |BM| = |AB|/2 = L/2. (4)

とすると，直角三角形OAMについてピタゴラスの定理から，

|OA|^2 = |OM|^2 + |AM|^2,

なので，左辺の|OA|=Rであり，右辺は(3),(4)なので，これを解いて，

R = (L^2 + 4*D^2) / (8D).

いっぱいいっぱい さんのレス (2009/05/17(Sun) 10:46)

明解な回答ありがとうございました． 大変参考になりました．

mNeji さんのレス (2009/05/18(Mon) 06:06)

もう少しましな考え方．

前回のやり方は，「解があったら」として強引に答えを引き出しました．今回は，題意に沿って，作図する方法を用いました．

〜〜〜

点A,Bがあり，点A,Bの中点をMとする．点Mから線分ABに垂線を引き，点Mから距離Dの点をCとする．

さらに，下図のように，Nを通り，線分ACに垂直な線分nと，線分MC(線分m)の交差する点をPとする．

<pre> A ・ ｜ ｜ ・Nは線分ACの中点． ｜ ・┼───・ P ｜M CNを通り，線分ACに垂直な線分nと， ｜ 線分MC(線分m)の交差する点をPとする． ｜ ・ B </pre>

三角形PNAと三角形PNCは，合同であるので，|PA|=|PC|である．同様に，|PB|=|PC|となり，点Pは点A,B,Cから等距離の点となる．言い換えれば，点Pは曲率中心である．

三角形PCNと三角形ACMは相似である．角PCM＝角ACMであるから，

cos(角PCM) = |CN| / |PC| = cos(角PCM) = |CM| / |AC|. (1)

三角形ACMでは，

|AM| = L/2, (2) |MC| = D, (3) よって， |AC|= SQRT(4D^2 + L^2)/2, (4) |CN|=|AC|/2 = SQRT(4D^2 + L^2)/4. (5)

曲率半径R=|PC|は，

R = |PC| = |CN|*|AC|/|CM| = (4D^2 + L^2)/(8D).