計算問題

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計算問題

数学迷い人さんの書込 (2009/05/11(Mon) 11:08)

a,bはベクトルです．

-2ωsin(ωt)da/dt + 2ωcos(ωt)db/dt + cos(ωt)d^2a/dt^2 + sin(ωt)d^2b/dt^2

の計算なんですが，０になれますか？

証明問題をやっていて，おそらくこの多項式は０になると踏んだのですが，計算が詰まってしまいました．ヒントをいただければお願いします．

Re: 計算問題

mNeji さんのレス (2009/05/12(Tue) 03:06)

冗談半分の話ですが，もし与式の係数2が1であって，次の式だとすると，

$\vec J &= -\omega \sin(\omega t)\frac{\mathrm{d} \vec a}{\mathrm{d} t} +\cos(\omega t)\frac{\mathrm{d} \vec b}{\mathrm{d} t} +\cos(\omega t)\frac{\mathrm{d}^2 \vec a}{\mathrm{d} t^2} +\sin(\omega t)\frac{\mathrm{d}^2 \vec b}{\mathrm{d} t^2}\\&= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left(\cos(\omega t)\frac{\mathrm{d} \vec a}{\mathrm{d} t} +\sin(\omega t)\frac{\mathrm{d} \vec b}{\mathrm{d} t}\right)$

になるので，最後の大括弧の中が定ヴェクタなら， $\vec J$ はゼロ・ヴェクタになります．

Re: 計算問題

数学迷い人さんのレス (2009/05/13(Wed) 07:51)

てことは，元の式では，０にはなれなかったってことですか？

う〜ん，再検討してみます．

微分の中が，定数なら良いんですね．

Re: 計算問題

mNeji さんのレス (2009/05/13(Wed) 13:19)

＞微分の中が，定数なら良いんですね．

一つの可能性です．

＞てことは，元の式では，０にはなれなかったってことですか？

ちなみに，残りを変形してみると，

$\vec K&= -\omega \sin(\omega t)\frac{\mathrm{d} \vec a}{\mathrm{d} t} +\cos(\omega t)\frac{\mathrm{d} \vec b}{\mathrm{d} t}\\&= -\omega^2\left(\cos(\omega t)\vec a+ \sin(\omega t)\vec b \right)+\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left(-\omega \cos(\omega t)\vec a +\omega \cos(\omega t)\vec b\right)$

とも変形出来ますね．

Re: 計算問題

toorisugari no Hiro さんのレス (2009/05/13(Wed) 13:43)

> 証明問題をやっていて，おそらくこの多項式は０になると踏んだのですが，

元の証明問題を出してくれた方が解決が早そうです．

Re: 計算問題

数学迷い人さんのレス (2009/05/13(Wed) 14:06)

元の問題です．↓

ベクトルX＝（cosωｔ）a +(sinωt)bに対して，

d^2X/dt + ω^2X = 0

X×X’＝ωa×bを示すという問題です．

Re: 計算問題

数学迷い人さんのレス (2009/05/13(Wed) 14:11)

ちなみに，ベクトルを微分しても，ベクトルなのでしょうか？変な質問ですが，お願いします．

Re: 計算問題

toorisugari no Hiro さんのレス (2009/05/13(Wed) 19:46)

「ベクトル $\bm{X}(t)=\cos(\omega t)\bm{a} + \sin(\omega t)\bm{b}$ に対して，

$\frac{\mathrm {d}^2 \bm{X}}{\mathrm{d}t^2} + \omega^2 \bm{X} = 0$

および，

$\bm{X}\times\frac{\mathrm{d} \bm{X}}{\mathrm{d}t} = \omega \bm{a}\times\bm{b}$

を示せ．」という問題ですか．

$\omega$ は定数， $\bm{a}, \bm{b}$ は定ベクトルですね．そうでないと解けません．

Re: 計算問題

toorisugari no Hiro さんのレス (2009/05/13(Wed) 19:53)

> ちなみに，ベクトルを微分しても，ベクトルなのでしょうか？

$\bm{r}(t)$ のようなベクトル値関数を微分した $\frac{\mathrm{d}\bm{r}}{\mathrm{d}t}$ もベクトルです．

なぜなら，定義により，

$\frac{\mathrm{d}\bm{r}}{\mathrm{d}t} = \lim_{h\to 0}\frac{\bm{r}(t+h)-\bm{r}(t)}{h}$

ですが，極限を取る前の $\frac{\bm{r}(t+h)-\bm{r}(t)}{h}$ はベクトルの差 $\bm{r}(t+h)-\bm{r}(t)$ をスカラ {h} で割ったものですからベクトルになります．当然，その極限もベクトルです．

# ベクトルにベクトルを足しても(引いても)ベクトル # ベクトルにスカラをかけても(割っても)ベクトル # ベクトル値関数 $\bm{v}(h)$ の極限 $\lim_{h\to 0}\bm{v}(h)$ の値もベクトル

Re: 計算問題

数学迷い人さんのレス (2009/05/14(Thu) 09:39)

定ベクトルを微分したら，０ということですよね？

ということなら問題解けました．

Re: 計算問題

mNeji さんのレス (2009/05/14(Thu) 10:17)

＞定ベクトルを微分したら，０ということですよね？＞ということなら問題解けました．

私には，「数学迷い人さんの考え方」も興味深いのですが，それ以上に，「解こうとされている問題」が不思議に見えます．

もし宜しかったら，ご質問の問題は，どのような所にあったのか教えてくださると助かります．

Re: 計算問題

数学迷い人さんのレス (2009/05/14(Thu) 10:54)

＞もし宜しかったら，ご質問の問題は，どのような所にあったのか教えてくださると助かります．

この問題は，ベクトル解析の授業での問題です．今，ベクトルの微分という章に入りました．疑問に思ったことは，ベクトルでの微分扱いです．直線であるベクトルを微分するということがイメージしにくかったです．また，定ベクトルを微分したら，０になることがわからなかったです．定ベクトルというのは，ベクトルXでの要素のひとつであると考えています．