円の断面２次モーメント

ひっぽさんの書込 (2009/04/27(Mon) 18:12)

円の断面２次モーメントの理論式について教えて下さい．

半径rの場合， I=∫[0,A]y^2 dA が一般式で，dA=x・dy，x=2・r・Cosθより， I=2∫[-r,r]y^2・r・Cosθ dyとなり， y=r・Sinθより， I=2∫[-r,r]r^2・Sin^2θ・r・Cosθ dy

ここからなのですが，θが未知数なのでθの積分に変更したいのですが，どのようにするのでしょうか？三角関数の積分が分かっていないと思うのですが…

I=2∫[-r,r]r^2・Sin^2θ・r・Cosθ dyに y=r・Sinθより，dy=r・Cosθ dθ を代入して，

I=2∫[-π/2,π/2]r^4・Sin^2θ・Cos^2θ dθ にして，三角関数の公式で整理した後にθで積分すれば，

I=π/4・r^4になる．

回答ありがとうございます．お手数ですが，なぜ， dy=r・Cosθ dθ となるのか教えていただけないでしょうか？

貴殿は円のX軸周りの断面２次モーメントをハムを例に，X軸方向に千切りした微小面積の２次モーメントの総和で求めています．

貴殿のx=2・r・Cosθはθの位置での微小面積の【底辺の長さ】です． dyを?ydθを?θと表すべきやも知れませんが，煩雑さを避けて，

dyを微小面積の【高さ】とイメージして下さい．位置θとθ+dθの間の【高さ】がr・Cosθ dθであることは，幾何学的形状からも導くことが出来ます．以下に示します．

位置θとθ+dθの間の【円弧の両端を結んだ線分の長さ】は r・dθです．（θの単位は当然，±90度を±π/2ラジアンとする）

【円弧の両端を結んだ線分】の方向は位置θでの半径r方向に法線を成す．この法線方向とY軸の方向を考慮して三角関数を適用すれば，【高さ】はr・dθ ・Cosθであって，即ち，r・Cosθ dθとなる．

前回述べたy=r・Sinθより，dy=r・Cosθ dθ の間にはこの式の両辺をθで微分して dy/dθ=r・Cosθだからの説明が抜けていたと理解して頂くのも一方法です．

ご丁寧に説明いただき，ありがとうございました．大変分かりやすく，ようやく理解できました．感謝いたします．