ガンマ関数からスターリングの公式

home > 掲示板 >

このページのPDF版

サイトマップ

ガンマ関数からスターリングの公式

えりさんの書込 (2009/04/15(Wed) 15:19)

ご無沙汰しております．ガンマ関数からスターリングの公式を導く問題(ですが本題に行く前につまづいています)なのですが，変数変換がうまくいきません．

$z!=\Gamma(z+1)=\int_{0}^{\infty}t^{z}e^{-t}dt$ の右辺の積分で， t=z(1+u) とおくと，

$\int_{0}^{\infty}t^{z}e^{-t}dt=\int_{-1}^{\infty}{z(1+u)}^{z}e^{-z(1+u)}zdu &=z^{z+1}e^{-z}\int_{-1}^{\infty}e^{-z(u-\ln{u})}du$

となってしまいました．本当は右辺が，変数変換をすると $z^{z+1}e^{-z}\int_{0}^{\infty}e^{-z(t-1-\ln{t})}dt$ となるようなのですが，こうなりません．そもそも積分範囲も違うし，eの肩の上もぴったり合いません．何故でしょうか．．やはりuの置き方が悪かったのでしょうか，それとももう一段階踏むのでしょうか．教えてください．よろしくお願いします．