４次元球の表面積

４次元球の表面積

トビラ．． さんの書込 (2009/02/24(Tue) 00:34)

みなさん，こんばんわん！

４次元Euclid空間中の球の表面積についてなのですが，本では S=2\pi^2 R^3 となって，結果だけをのせています．どのように導出したのかわからなくて困っているんですけども，一応自分でも努力して解いてみたので，ご指摘やアドバイスをお願いします． まず，４次元Euclid空間内で半径 r の球の方程式を r^2=(x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2+(x^4)^2 と定義します． そこで，４次元の極座標変換を考えてみます． ４次元の極座標変換は２次元と３次元の類推により

&x^1=r\cos \theta_1\\&x^2=r\sin \theta_1\cos\theta_2\\&x^3=r\sin\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_3\\&x^4=r\sin\theta_1\sin\theta_2\sin\theta_3

とおきます．多分ですがこれを用いて４元線素 ds^2 を計算すると

ds^2=(dr)^2+r^2(d\theta_1)^2+r^2\sin^2\theta_1(d\theta_2)^2+r^2\sin^2\theta_1\sin^2\theta_2(d\theta_3)^2

となると思います． したがって４元体積要素 dv^{ijkl} は

dv^{ijkl}=\sqrt{g}drd\theta_1d\theta_2d\theta_3=r^3\sin^2\theta_1\sin\theta_2drd\theta_1d\theta_2d\theta_3

となると思うので，ここで，積分範囲は r;0\to R,\quad \theta_3;0\to 2\pi,\quad \theta_2;0\to \pi と３次元の極座標の類推により考えられると思います． \theta_1 の積分範囲については予測できないので \theta_1;0\to \alpha として４次元球の体積 V を計算すると

V=\int dv^{ijkl}=\displaystyle\frac{1}{2}R^4(\alpha-\cos 2\alpha+1)

となるのでこの球の表面積 S は

S=\displaystyle\frac{dV}{dr}=2\pi R^3(\alpha-\cos 2\alpha +1)

となります．ここで，答えは S=2\pi^2 R^3 とわかっているので \alpha=\pi であることが理解できます． この考え方はあっているのでしょうか？また，もしあっていたとしたならばなぜ， \theta_1 の積分範囲が \theta_1;0\to \pi となるのでしょうか？ どうかアドバイスやご指摘（できれば解答）お願いします．

Re: ４次元球の表面積

yama さんのレス (2009/02/24(Tue) 11:28)

それで合っていると思います． 積分範囲については， (x^1,x^2,x^3,x^4) と (r,\theta_1,\theta_2,\theta_3) が原点を除いて1対1に対応するように決めればそのようになると思います． たとえば，もし， \theta_1 の積分範囲が 0\to 2\pi であれば 2\pi-\theta_1 もこの範囲に入ります．このとき \theta_3<\pi であれば， (r,2\pi-\theta_1,\pi-\theta_2,\pi+\theta_3) と (r,\theta_1,\theta_2,\theta_3) が同一の (x^1,x^2,x^3,x^4) に対応してしまいます．

Re: ４次元球の表面積

Yokkun さんのレス (2009/02/24(Tue) 12:11)

トビラ．．さん，こんにちは．

\theta_1=\pi/2 は， x^1=0 すなわち x^2-x^3-x^4 超平面（３次元ユークリッド空間）を表しますね．この超平面を境界として４次元空間が x^1 > 0 と x^1 < 0 に２分されます．この２領域に対応する座標は， 0<\theta_1<\pi/2 と \pi/2<\theta_1<\pi ですよね？

４次元超球の表面積については，検索でけっこうよい解説がひっかかってきます．

→結果がまちがってますが，わかりやすい説明と思います．他に

など．

Re: ４次元球の表面積

トビラ．． さんのレス (2009/02/24(Tue) 22:53)

yamaさんYokkunさんどうもありがとうございます．

Yokkunさんへ ここで質問する前にネットで調べるのを忘れてました．すみません．特に２番目のサイト（？）が数学的に詳しく計算してあってすごく気に入りました．直行直線座標で４次元空間の球の表面積を求める方法は思いつきませんでした． ありがとうございます． また，積分範囲のことについてなのですが，なるほど，二分されるから４次元空間を考えたさい 0<\theta \pi の範囲が最低必要な領域（？）ということでしょうか？

yamaさんへ 積分域についてとても興味深いことを聞き参考になりました．ありがとうございます． しかしながら，僕の理解力の乏しさゆえ少しばかり理解できませんでした． \theta_3<\pi と書かれていますが，そうでなくてもすべて１対１に対応するのではないのでしょうか？ だとすると \theta_3<\pi という条件はどこから来たのでしょうか？

Re: ４次元球の表面積

yama さんのレス (2009/02/25(Wed) 00:24)

\theta_3>\pi の場合は \theta_3+\pi が 2\pi を超えるからです．

その場合は， (r,2\pi-\theta_1,\pi-\theta_2,\theta_3-\pi) と (r,\theta_1,\theta_2,\theta_3) が同一の (x^1,x^2,x^3,x^4) に対応します． いずれにしても \theta_1 の積分範囲が 0\to 2\pi であれば， (x^1,x^2,x^3,x^4) と (r,\theta_1,\theta_2,\theta_3) の対応が１対１でなくなるので，１対１にするためには \theta_1 の積分範囲を 0\to \pi に制限しなければならないわけです．

Re: ４次元球の表面積

Yokkun さんのレス (2009/02/25(Wed) 10:05)

ユークリッド空間ですから，直交座標が圧倒的に見通しがいいわけですね．その見通しのよさと球対称領域の積分という課題の折り合いをつけるということになります．

幾何学的なイメージにこだわってみたいのですが，（以下不等号は一部必要な等号をのぞいていますが，ご勘弁を）

３次元極座標における２つの角座標 \theta,\phi の役割の違いを考えてみてください． 空間をくまなく張る手順に２通り考えられます． (1) 0<r<\infty,0<\theta<\pi で定義される半平面を 0<\phi<2\pi にわたり回転させる． (2) 0<r<\infty,0<\phi<2\pi で定義される円錐面を 0<\theta<\pi にわたって開き角を動かす． （他に 0<\theta<\pi,0<\phi<2\pi で定義される球面を 0<r<\infty にわたって動かす手順もあります．）

４次元の場合は，トビラ．．さんの定義では \theta_1,\theta_2 が３次元の \theta と同じ役割で， \theta_3 が３次元の \phi と同じ役割をしています．すなわち， (1) 0<r<\infty,0<\theta_1<\pi,0<\theta_2<\pi によって定義される半超平面（ x^1,x^2,x^3 の３軸によって張られる３次元空間のうち x^3>0 の領域）を 0<\theta_3<2\pi にわたって回転させる． (2) 0<r<\infty,0<\theta_1<\pi,0<\theta_3<2\pi によって定義される超円錐面を 0<\theta_2<\pi にわたって開き角を動かす． （その他いくつか考えられます．） ・・・という具合．ちょっとわかりにくいですが，３次元との類推をフルに働かせればイメージできそう？

Re: ４次元球の表面積

トビラ．． さんのレス (2009/02/25(Wed) 11:26)

yamaさんどうもありがとうございました． どうにか理解できました．つまりは \theta_3>\pi だと \pi+\theta_3 が 2\pi 以上になってしまい，１周してしまうので１対１に対応でなくなるということですよね．その場合( \theta_3>\pi )は 2\pi を超えないように (\pi+\theta_3)-2\pi=\theta_3-\pi と調整する必要があるわけですね． でも，よく考えたら確かに 0<\theta_1<2\pi だと１対１に対応しなくなるから 0<\theta_1<\pi とする必要があるけど，そうしたらまた積分範囲が違ってきてくるので( \theta_1;0\to \pi,\,\theta_2;0\to \pi,\,\theta_3;0\to \pi と積分範囲がなるから)，その積分範囲では計算があわないのでどうしたらいいのでしょうか？

Yokkunさん，なるほど，そのように幾何学的（？）に考えればそれ以上の高次元に対しても \theta_n<\pi,\quad \phi<2\pi となることが予測できますね． どうもありがとうございました．

Re: ４次元球の表面積

トビラ．． さんのレス (2009/02/26(Thu) 22:10)

yamaさんありがとうございます． 何とか理解できました．僕にとっては少し難しかったですが大変勉強にさせてもらいました． どうもありがとうございました．

Re: ４次元球の表面積

mNeji さんのレス (2009/02/27(Fri) 06:30)

トビラ．．さん，

横から失礼します．興味深く拝見いたしました．

自分のように数学的なセンスがないものとして，初めて「４次元球」をイメージできたような気がして面白かったです．

できれば絵をつけた解説をお造り戴けると，これから勉強をされる方々にも参考にある様な気がします．「物理のかぎしっぽプロジェクト」に加入されて記事にするのも一法かもしれませんね．

Re: ４次元球の表面積

トビラ．． さんのレス (2009/02/27(Fri) 15:14)

mNejiさん，物理のかぎ尻尾プロジェクトへのおさそいありがとうございます． 僕も前々からこの素敵なプロジェクトに参加したいとは思ってはいたのですが，自分の勉強に手いっぱいなので断念した所存でございます． もっと力をつけて指導できる立場になったときにはいつか参加してみようと思っています． これからも死ぬまで真実一路邁進していこうと心中に考えます． なのでここにはたびたびお世話になりますが，これからもよろしくお願いします．