回転楕円体上の２点を通る大円の式

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回転楕円体上の２点を通る大円の式

ぽてとぐらたんさんの書込 (2009/01/25(Sun) 17:47)

地球を球近似せず回転楕円体と考えたとき，地球上の２点を結ぶ最短経路を含む楕円の方程式はどのように記述されるかについてなのですが，以下のような素人考えでよいか，又はもっと分かりやすいエレガントな記述がありましたら誰か教えてください．

地球の回転楕円体の方程式は直交カルテシアン座標系で書くと（z軸は自転軸，x軸,y軸は赤道面上の直交する２軸）

$\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1$

なお，は長径（赤道円周の半径），は短径（北極と南極を結んだ直線の長さの半分）とします． x,y,z をa,b,緯度 $\lambda$ ，経度 $\nu$ で表すとそれぞれ，

$x=a*cos(\lambda)*cos(\nu), y=a*cos(\lambda)*cos(\nu), z=b*sin(\lambda)$

です．

問題となる２点を通る楕円は地球の赤道面（正円）をまずz軸回りに $\theta$ だけ回転し，次いでy軸回りに $\phi$ だけ回転した面上にあると考えられます．上記xyzの座標系に $\theta$ ， $\phi$ の回転行列を掛けて得られる新しい座標の組x',y',z'は，長くなるのでまじめに書くのを省きますが， $\lambda,\nu,\theta,\phi$ の４つの変数を含むことになります．

ここで，この平面上に乗る一般的な楕円の式は

$\frac{x'^2}{c^2}+\frac{y'^2}{a^2}=1$

（＊なお，この楕円の長径・短径のいずれかはのままで．もうひとつのは

$c=((a*sin(\lambda))^2+(b*cos(\lambda))^2)^{1/2}$

と表されるはず）

で,やはり $\lambda,\nu,\theta,\phi$ の４変数から成っています．

これに既知の２点の緯度・経度 $\lambda$ ， $\nu$ を代入すると， $\theta,\phi$ に関する２本の連立方程式になり， $\theta,\phi$ を求めることが出来るので，楕円の方程式が分かる．

実際に解くとなるとかなりめんどくさいかもしれませんが，仮定に間違いはないでしょうか？で，そもそも最短経路（測地線）と云うのは上記のように仮定した楕円の上に乗るものなんでしょうか？

地球上の測地線(geodesic on the Spheroid)についてちょっと調べてみました（wikipediaなど）が，アフィン接続？だか何だかでかなり高度なように見受けられました．一般的な任意の球体について測地線を定義するとかなり難しくなるのだと思いますが，地球の場合はかなり単純化出来る回転楕円体なので，測地線は上記のようにして求められる楕円の上に乗る，と云えないかなあと思ったのですが，いまいちはっきりしません．また，２点を結ぶ楕円（なり測地線）の方程式をもっとエレガントに記述できる方法がありましたらお尋ねしたい次第です．（なお，２点のいずれかが北極点・南極点となるようなことはなしとします）どなたかよろしくお願い致します．

Re: 回転楕円体上の２点を通る大円の式

yama さんのレス (2009/01/25(Sun) 20:48)

「２点を結ぶ最短経路を含む楕円の方程式」ということは，２点を結ぶ最短経路が楕円の一部であることが前提になると思いますが，その前提が成り立つかどうか疑問です．この場合の測地線は，たぶん一平面上にはなく，従って楕円にはならないように思われます．

Re: 回転楕円体上の２点を通る大円の式

ぽてとぐらたんさんのレス (2009/01/26(Mon) 08:22)

ご回答をありがとうございます．仰るとおり，＞この場合の測地線は，たぶん一平面上にはなくと云う可能性もありますので，一般的にはこのような問題は非常に難しいものになります．しかし，球面上の２点の最短経路が大円の一部であるが故に問題が簡単に解けるように，球を上下からつぶしたくらいのみかん型の回転楕円体（oblate spheroid）においては，最短経路は２点を通る楕円の一部でよい，と云う結論（もしくはyamaさんが仰るように，「そうはならない」と云うはっきりした結論）がどこかに落ちていないかなあ？と考えた次第です．証明はもちろん易しくないとは思いますが．

Re: 回転楕円体上の２点を通る大円の式

yama さんのレス (2009/01/26(Mon) 23:38)

厳密な証明は難しいと思いますが，直観的には次のように考えることができると思います．

球面上では大円に沿って，たるまないように糸を巻き付けて一周させることができます．もし楕円体の測地線が楕円であれば，同様にその楕円に沿ってたるまないように糸を巻き付けて一周させられるはずですが，実際にはできないと思います．

例えば，扁平率の大きい回転楕円体として碁石のようなものを考えます．それに糸を巻き付けて一周させようとしても，すっぽぬけてしまって一周させることはできないでしょう．例外的な場合として赤道や子午線に沿って巻き付けることはできますが一般にはできないでしょう．

それでは碁石表面の測地線は実際はどうなるのか考えてみましょう．碁石の表面の任意の２点A,Bを考えます．簡単のため２点とも表側にあるものとします． A点に糸の端を固定し，B点に向かって引っ張りながら糸を伸ばすと，それがAB間の測地線になるはずです．さらにそのままずれないように糸を延長して裏側に回してから再び表側に戻します．そのとき戻ってきた糸は初めのAB間の測地線には重ならないでしょう．さらに糸を延長していくと，表側に戻るたびに位置がずれながら，ぐるぐると碁石に巻きつくと思います．この糸の経路が測地線になるはずですが，これは一平面上にはなく，捩率をもった曲線になるでしょう．

Re: 回転楕円体上の２点を通る大円の式

yama さんのレス (2009/01/28(Wed) 23:46)

測地線の式を具体的に求めるには次のような方法が考えられます．一般に曲面上に束縛された質点に外力が働かないとき，質点の軌道は測地線になります．従って楕円面上の質点に外力が働かないときの軌道を求めればよいわけです．そのためには，運動エネルギーを緯度 $\lambda$ と経度 $\nu$ およびそれらの時間微分を用いて表します．外力が働かないときは，これがそのままラグランジアンになるので，ラグランジュ方程式をつくれば，それが運動方程式です．その運動方程式を解けば，測地線が時間をパラメータとする式で表されることになります．