BEC

けん（大学3年）さんの書込 (2008/12/27(Sat) 23:09)

理想ボース気体，3次元，T<Tcでなぜμ=0なのかという質問です．

理想ボース気体，3次元を考えます．温度Tのとき，全粒子数をN，エネルギーε=0の粒子数をN0，それ以外（ε≠0）の粒子数をN'とします．N=N0+N'です．化学ポテンシャルμ=0かつN=N'なる温度があり，これをTcとおきます．ところでN'には最大値N'maxがあり，μ=0のときN'=N'maxとなります．つまり，温度を高温から下げていったとき，TcになったときにN=N'=N'maxとなります．そして，さらに温度を下げたとき，N＞N'maxであるため，N0が増え始めます．つまり，ボースアインシュタイン凝縮が始まります．

ここまではどのテキストにも書かれている事柄です．しかし，T<Tcでμ=0であり続けることに関して疑問を持っています．何冊ものテキストにあたってみて，

1.「T<TcではN0がマクロな量になるので，そのためにはN0=1/(exp(-μ/kT)-1)から，μが0でなければならないkはボルツマン定数」という説明があったのですが，T=Tcでミクロな数だと考えられるN0がT<TcなるTの中でも，特にTcより少し低い温度でもNのオーダーになるという根拠は何なのでしょうか．絶対零度より少し高い温度ではN0=O(N)なのでしょうけれど．

2.「T<TcでN'はN'maxになり(→μ=0となる)，それより低い温度ではN'に入りきらない粒子はN0に入る．」という説明があったのですが，T<TcでN'はN'maxになることの根拠は何なのでしょうか．温度を下げるのだから，N'=N'maxとならずに，エネルギーε=0であるN0に入っていくという可能性もあります．

T<Tcでμ=0になることを数式で示す方法があればその方法もしくはそれが載っているテキストを教えて頂きたいです．よろしくお願いします．

Re: BEC

nomercy さんのレス (2008/12/28(Sun) 05:06)

もっともな疑問ですね．

まず，T=Tcでは密度ρ0（ρ0≡N0/体積）は零で，これより温度を下げると連続的に大きくなっていきます．もちろん，T=Tcでも連続です．なぜ Tc より少しだけ低い温度でも非零かというと，２．に書いてあるのがその一つの説明です．すなわち，T < Tc では必ず ρ' < ρ だからです．

さて，本題の化学ポテンシャルですが，これは１．に書いてある考察の通りです．（この説明はかなり大まかなものですが）つまり，(V e^{-μ/T}-1)^(-1) V:体積が体積が十分大きい極限で有限の値を持つには化学ポテンシャルが非常に小さく（-μ/T ∝ V^(-1) << 1）なければならない．

以上に書いた説明はけんさんの質問文を書き直しただけのようなものなので，これだけ読んでも釈然としないかと思います．具体的に化学ポテンシャルを評価しているテキストとして，例えば田崎晴明「統計力学」培風館新物理学シリーズがあります．参考にしてみて下さい．

Re: BEC

けん（大学3年）さんのレス (2008/12/31(Wed) 00:24)

＞nomercyさん

コメントありがとうございます．田崎晴明「統計力学」培風館新物理学シリーズは見てみましたが，このテキストでは，T<Tcでμ=0であるとしとよいと言ってしまうことによってμ=0でのN'を求め（つまりN'=N'maxとしてしまう），このN'を用いてμの振る舞いを見ています．議論は確かに無矛盾ではありますが，はじめにμ=0としてしまうことの根拠がないように思います．

はじめにμ=0としてしまうことの根拠を知りたいです．解析的に示せるのでしょうか．

Re: BEC

yama さんのレス (2008/12/31(Wed) 11:18)

ランダウ-リフシッツ「統計物理学」の§62の説明が参考になると思います．

Re: BEC

nomercy さんのレス (2009/01/01(Thu) 03:25)

T < Tc で μ＝０となるのは No.22597 で理解できるのではないでしょうか．つまり T < Tc では ρ' ≦ ρ'max < ρ なので必ず ρ' < ρ であり，ρ0 ≠ 0 となる．一方，ρ0 ≠ 0 となるには μ = 0 でなければならない．従って T<Tc では μ=0．逆に，T > Tc では，μ≠０でなければならない．なぜなら，仮にμ＝０とすると ρ'=ρ'max > N となり，矛盾するからである．