二重バネ連合

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二重バネ連合

けんじさんの書込 (2008/12/17(Wed) 16:07)

はじめまして課題がわからないのでよろしくお願いします

質量ｍ１，ｍ２，ばね１（バネ定数ｋ，自然長ｌ１），ばね２（バネ定数ｋ，自然長ｌ２）があり

（壁）｜ー（ばね１）−（質量１）−（ばね２）−（質量２）＿＿＿｜＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

といったようになっている．質量ｍ１，ｍ２の平衡点ｘ１＝ｌ１ｘ２＝ｌ１＋ｌ２からの変位をそれぞれｙ１，ｙ２とする

「Ａ」ｍ１＝ｍ２のとき（１）ポテンシャルＵは２＊２行列を使って

Ｕ＝１/２（ｙ１，ｙ２）Ｋ（ｙ１）: ｙ２

↑１＊２行列↑２＊１行列

とあらわすことができるＫを求めろ

（２）直行行列Ｒをもちいて，座標ｙ１，ｙ２を（ｙ１）＝Ｒ（ｑ１）ｙ２ｑ２

のように一次変換するとＵ＝１/２（ｑ１，ｑ２）Ｒ＾ＴＫＲ（ｑ１）ｑ２

といったように，Ｕはｑ１，ｑ２の二次式として表せれる

このとき直行行列Ｒをうまく選べば

行列Ｒ＾ＴＫＲが対角形＝（ｋ１０）０ｋ２←２＊２行列

になることが知られている．このようなｋ１，ｋ２を求めろ

（３）ラグランジアンを新しい変数ｑ１，ｑ２を用いて表し，ｑ１（ｔ），ｑ２（ｔ）に対する運動方程式を書き下し，そのかいｑ１（ｔ），ｑ２（ｔ），を求めろ．それから２質点の運動ｙ１（ｔ），ｙ２（ｔ）を書き下せ

「Ｂ」ｍ１＝ｍ２とは限らない一般の場合ｚ１＝（√ｍ１）ｙ１ｚ２＝（√ｍ２）ｙ２

と一次変換したとき，二質点の運動ｙ１（ｔ），ｙ２（ｔ）はどのようになるか

醜いですが本当に困っていますよろしくお願いします

Re: 二重バネ連合

Yokkun さんのレス (2008/12/17(Wed) 19:34)

問題のレベルからいって，とても「教える」立場には立てそうにないですが，アドバイスしながら一緒に解くことはできそうです．で，まず(1)ですが，ポテンシャルエネルギーを k,y_1,y_2 を使って書けばどうなりますか？そして， $U = \frac{1}{2}(y_1,y_2)\bm{K}\begin{matrix}\\ \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}\end{matrix}$ となる $\bm{K}=\begin{pmatrix}K_{11}\,\,\,K_{12}\\K_{21}\,\,\,K_{22}\end{pmatrix}$ を求めましょう．

Re: 二重バネ連合

けんじさんのレス (2008/12/17(Wed) 19:48)

アドバイスよろしくお願いします

題意よりＵ＝１/２ｋｙ１＾２＋１/２ｋ（ｙ２−ｙ１）＾２

＝１/２ｋ｛２（ｙ１）＾２−２（ｙ１）（ｙ２）＋（ｙ２）＾２｝

またＵ＝１/２｛Ｋ１１（ｙ１）＾２＋（Ｋ１２＋Ｋ２１）（ｙ１）（ｙ２）＋Ｋ２２（ｙ２）＾２｝

二式よりＫ１１＝２ｋＫ１２＋Ｋ２１＝−２ｋＫ２２＝ｋ

自分でやってみたのですがどうですかねぇ・・・

Re: 二重バネ連合

Yokkun さんのレス (2008/12/17(Wed) 20:11)

いいと思います． $K_{12},K_{21}$ のとり方はいろいろありますが，一般の場合にどうなるかは私もまだよく検討していません．そこでおすすめですが，対称な $\bm{K}$ を選びませんか？その上で，(2)にすすみましょう．(2)はにおいて２つの座標の積の項がなくなるように，座標変換しましょうということです．は２つの座標の２次の同次式になっていますから楕円や双曲線の回転を考えればわかるように， $\bm{R}$ として角 $\theta$ の回転を選ぶことができそうです．

Re: 二重バネ連合

けんじさんのレス (2008/12/17(Wed) 20:18)

対称的なＫ１２，Ｋ２１となるとＫ１２＝Ｋ２１＝ーｋ

これでいいでしょうか

Re: 二重バネ連合

Yokkun さんのレス (2008/12/17(Wed) 20:53)

を直交座標と考えて，角 $\theta$ の回転 $\bm{R}$ を考えましょう．

Re: 二重バネ連合

けんじさんのレス (2008/12/17(Wed) 21:07)

（cosθ−sinθ） sinθcosθ

ですかね？

よくわかりません

問題文にヒントとして

det（ｘI−K）＝det(R＾T（ｘI−K）R）＝（ｘ−ｋ１）（ｘ−ｋ２）

となり

ｋ１，ｋ２はdet（ｘI−K）＝０となっている

と書いてありますけど…

Re: 二重バネ連合

Yokkun さんのレス (2008/12/17(Wed) 22:30)

なるほど． ${\sf det}(x{\sf I}-{\sf K})&={\sf det}({\sf R^T}(x{\sf I}-{\sf K}){\sf R})\\&={\sf det}(x{\sf R^T}{\sf R}-{\sf R^T}{\sf K}{\sf R})\\&={\sf det}\left(\begin{matrix}x-k_1&0\\0&x-k_2\end{matrix}\right)\\&=(x-k_1)(x-k_2)$ だから， k_1,k_2 は ${\sf det}(x{\sf I}-\sf{K})=\left|\begin{matrix}x-2k&k\\k&x-k\end{matrix}\right|=0$ の解．そこでこれを求めてしまおうというシナリオですね．

Re: 二重バネ連合

けんじさんのレス (2008/12/17(Wed) 22:39)

Kは個体値であるから逆行列を持たない

よって（ｘ−ｋ１）（ｘ−ｋ２）＝０

ｋ１＝ｋ２＝ｘ？

そもそも「ｘ」とはなんだろうまたｋ１＝ｘであればｋ２の値は何でもいいのでは？

Re: 二重バネ連合

けんじさんのレス (2008/12/17(Wed) 22:55)

Yokkunさんが教えてくださった式を解いたところ

ｘ＝（３ｋ＋ｋ√５）/２，（３ｋ−ｋ√５）/２

となりました

Re: 二重バネ連合

Yokkun さんのレス (2008/12/17(Wed) 23:19)

一方 ${\sf det}(x{\sf I}-{\sf K})=(x-k_1)(x-k_2)=0$ の解は， x=k_1,k_2 ですから， k_1,k_2 がわかったことになります．そこで，あらためて ${\sf R^T K R}=\left(\begin{matrix}k_1&0\\0&k_2\end{matrix}\right)$ を満たす ${\sf R}$ を導くということになります．

Re: 二重バネ連合

けんじさんのレス (2008/12/17(Wed) 23:53)

Rの成分をa,b,c,dとおき計算しましたが，これだけ時間をかけたにもかかわらず，計算できませんでした．

ところで・ｋ１，ｋ２はどのように区別されるのでしょうか（ｘ＝ｋ１，ｋ２またｘ＝（３ｋ＋ｋ√５）/２，（３ｋ−ｋ√５）/２となるがどちらがｋ１でどちらがｋ２かわかりません）

・なぜここでRを導かなければならないのか

という疑問を持ちました回答のほうをよろしくお願いします．

Re: 二重バネ連合

Yokkun さんのレス (2008/12/18(Thu) 00:15)

>ｋ１，ｋ２はどのように区別されるのでしょうか

多分，どちらでもいいのではないかと推測しています． Rもそれに応じた任意性を含んでいるのではないでしょうか？

>なぜここでRを導かなければならないのか

ごめんなさい．(3)で必要なのですよね？上記がOKならば(2)は終わりです．

私もやってみてますが，回転に置き換えるのはダメかもしれません． Rの直交性は明らかなので，R^T・R=Iが条件に含まれることはいいですね？私の方は，今夜のお返事はここまでとさせていただきます．

どなたか助っ人に入って下さるとありがたいのですが・・・．

Re: 二重バネ連合

けんじさんのレス (2008/12/18(Thu) 00:35)

Yokkunさん，回答ありがとうございました

R＾TKR＝（ｋ１０）０ｋ２

の左辺のK，右辺にそれまでに求めた値を代入して計算しましたが，Rの成分を求めることができませんでした．

だれかほかの方で教えてくださる方がいましたらよろしくお願いします．

Yokkunさん，これまでの解説ありがとうございました．わかりやすかったです．

Re: 二重バネ連合

Yokkun さんのレス (2008/12/18(Thu) 00:54)

回転でやっぱりうまくいくみたい．

$\theta=\tan^{-1}\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ で計算があうような・・・．

あ， ${\sf R}=\left(\begin{matrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{matrix}\right)$ です．

Re: 二重バネ連合

けんじさんのレス (2008/12/18(Thu) 01:21)

θの求め方がわかりません

（３）ですがｑ１，ｑ２を用いてラグランジアンを表すと

L＝１/２ｍ｛（ｑ１）’｝＾２＋１/２ｍ｛（ｑ２）’｝＾２: ー１/２ｋ１（ｑ１）＾２−１/２ｋ２（ｑ２）＾２

となり運動方程式は

ｍ｛ｑ１（ｔ）｝”＝−ｋ１ｑ１ｍ｛ｑ２（ｔ）｝”＝−ｋ２ｑ２

からもとめていくというのはどうでしょうか？

（なお「’」は偏微分を示しています）

Re: 二重バネ連合

けんじさんのレス (2008/12/18(Thu) 03:39)

本日提出の課題であるのにもかかわらず，いまだに解くことができません．もうやばいです

Re: 二重バネ連合

Yokkun さんのレス (2008/12/18(Thu) 08:27)

おはようございます．

$C=\cos\theta$ および $S=\sin\theta$ と書きます． ${\sf R^TKR}&=\left(\begin{matrix}C&-S\\S&C\end{matrix}\right)k\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}C&S\\-S&C\end{matrix}\right)\\&=k\left(\begin{matrix}2C^2+2CS+S^2&CS-(C^2-S^2)\\CS-(C^2-S^2)&2S^2-2CS+C^2\end{matrix}\right)$ となり， $\cos\theta\sin\theta-(\cos^2\theta-\sin^2\theta)=\frac{1}{2}\sin 2\theta-\cos 2\theta=0$ より， $\tan 2\theta=2$ すなわち， $\cos\theta&=\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}}$ $\sin\theta&=\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}}$ となります．また， $2\cos^2\theta+2\cos\theta\sin\theta+\sin^2\theta=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ $2\sin^2\theta-2\cos\theta\sin\theta+\cos^2\theta=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ も確認できます．運動方程式はおっしゃるとおりですね．

Re: 二重バネ連合

けんじさんのレス (2008/12/18(Thu) 09:37)

おはようございますわかりやすいRの導き方ありがとうございます

運動方程式を立てたまでは良かったのですが，ｑ１（ｔ），ｑ２（ｔ）を求めるというのがわかりません

あともしかしてｙ１（ｔ）＝ｑ１（ｔ）＋ｑ２（ｔ）ｙ２（ｔ）＝ｑ１（ｔ）−ｑ２（ｔ）ですか？

それと今日は授業があるので１０時過ぎにはもう出ますすみません

Re: 二重バネ連合

Yokkun さんのレス (2008/12/18(Thu) 09:54)

>運動方程式を立てたまでは良かったのですが，ｑ１（ｔ），ｑ２（ｔ）を求めるというのがわかりません

単振動の解を書けば終わりです．

>あともしかして >ｙ１（ｔ）＝ｑ１（ｔ）＋ｑ２（ｔ） >ｙ２（ｔ）＝ｑ１（ｔ）−ｑ２（ｔ） >ですか？

$\bm{y}={\sf R}\bm{q}$ ですよね？ y_1=Cq_1+Sq_2 y_2=-Sq_1+Cq_2 ここに， $C=\cos\theta=\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}}$ $S=\sin\theta=\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}}$ です．なお，回転 ${\sf R}$ で対角化できるのは ${\sf K}$ が対称な場合だけのようです．

Re: 二重バネ連合

けんじさんのレス (2008/12/18(Thu) 09:58)

ｙ＝Rｑということを見落としていました

ところで運動方程式の解ｑ１（ｔ），ｑ２（ｔ）はどうすればいいのでしょうか?

ｑ１（ｔ）＝−ｍ｛ｑ１（ｔ）｝”/ｋ１

としかわかりません

Re: 二重バネ連合

Yokkun さんのレス (2008/12/18(Thu) 10:07)

う〜ん．＾＾；

$q_1(t)=q_1(0)e^{i\omega_1 t}$ ただし， $\omega_1=\sqrt{\frac{k_1}{m}}$

お気をつけて，いってらっしゃーい．

Re: 二重バネ連合

けんじさんのレス (2008/12/18(Thu) 10:09)

すみません時間ですので失礼します

朝早くからわかりやすい解説ありがとうございました

Re: 二重バネ連合

anon さんのレス (2008/12/18(Thu) 12:49)

ざっと見たところ，二次形式の標準化の問題のようですね．線形代数の初歩的な教科書などで，「対称行列の対角化」の応用として解説が読めると思います．

Re: 二重バネ連合

けんじさんのレス (2008/12/18(Thu) 16:20)

いま大学から帰ってきました

あのあと，自力で「B」を解きましたが，やはり間違っていましいた．やはり物理や数学の理解・発想がまだまだであると感じました

Yokkunさんには問題の解き方の手順を示していただき，本当に感謝しています

もし今後またこのようなことがありましたらよろしくお願いします．

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