微分方程式

う〜んさんの書込 (2008/11/10(Mon) 00:16)

教科書の問題で d^{2}x/dt^2=-kx というのを解かなければならない問題があったのですがわからず，解説をみたら, これを解くとx=Acos√{k/m}t+Bsin√{k/m}t (A,Bは任意定数) としか書かれていなくて，どうやって解いて上のx=の式になったのかがまったくわからないのです．どなたか教えていただけませんでしょうか？

Re: 微分方程式

snow さんのレス (2008/11/10(Mon) 02:16)

$Ce^{i\omega t}=C_{1}cos(\omega t)+C_{2}sin(\omega t)$ の関係を使えばうまくいくはずです．

Re: 微分方程式

toorisugari no Hiro さんのレス (2008/11/10(Mon) 09:54)

$\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} &= +\lambda^2 x$

の解が

$x=A \exp(\lambda x) + B \exp(-\lambda x)$

になることは理解できますか?

Re: 微分方程式

う〜んさんのレス (2008/11/11(Tue) 01:54)

すみませんわかりません．高校で導入程度しかやっていないのですが大学では普通に使われるので困っているところなのです．教えてもらえますか？また易しい文献などあればご紹介してくださればうれしいです．

Re: 微分方程式

mNeji さんのレス (2008/11/11(Tue) 03:18)

横から失礼します．

三角関数の微分を思い出すと

$\frac{\mathrm{d} \sin(\omega t)}{\mathrm{d} t} &= +\omega \cos(\omega t), ---(1)\\\frac{\mathrm{d} \cos(\omega t)}{\mathrm{d} t} &= -\omega \sin(\omega t). ---(2)$

そこでもう一度時間で微分すると，

$\frac{\mathrm{d}^2 \sin(\omega t)}{\mathrm{d}t^2} &= \frac{\mathrm{d} +\omega \cos(\omega t)}{\mathrm{d} t} ,\\&= -\omega^2 \sin(\omega t), ---(3)\\\frac{\mathrm{d}^2 \cos(\omega t)}{\mathrm{d}t^2} &= \frac{\mathrm{d} -\omega \sin(\omega t)}{\mathrm{d} t} ,\\&= -\omega^2 \cos(\omega t), ---(4)$

となります．このように正弦関数，余弦関数は二回微分すると定数項 $\omega$ の自乗が掛かるものの，自分自身と等しくなる性質があります．

また，正弦関数，余弦関数とは同じ時間の値で比較すると決して一致しません．相互に独立な関数です．

ですから， $\frac{\mathrm{d}^2 y(t)}{\mathrm{d}t^2} = -k y(t)$ のタイプの微分方程式を見ると，正弦関数，余弦関数の和で一般的に解けると思って良いのです．

Re: 微分方程式

toorisugari no Hiro さんのレス (2008/11/11(Tue) 11:44)

> 高校で導入程度しかやっていないのですが大学では普通に使われるので困っているところなのです．

これは「微分を知らない」(つまり，指数関数の微分や三角関数の微分や対数関数の微分をよく理解していない．オイラーの公式もテーラー展開も知らない)と思っていいのでしょうか?

もし，そうなら，今回の問題は手に余ります．たぶん，説明も最初からやらなければいけないので無理でしょう．

微分積分を最初からきちんと理解される事をお勧めします．

「(やさしい)微分積分入門」等と名が付いた教科書や参考書を購入されて，「さっと読んで暗記する」勉強法でなく，「一つ一つ概念を手で解いて確かめて，納得いくまで考え方を身にしみこませる」やり方で勉強をされないと，現状では厳しいと思います．

とりあえず，中身は見てないので保証はできませんが，以下の本から始められてはどうでしょう．

イラスト・図解はじめての微分積分―考え方から学べて，好きになる微積入門

http://www.amazon.co.jp/%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%BB%E5%9B%B3%E8%A7%A3-%E3%81%AF%E3%81%98%E3%82%81%E3%81%A6%E3%81%AE%E5%BE%AE%E5%88%86%E7%A9%8D%E5%88%86%E2%80%95%E8%80%83%E3%81%88%E6%96%B9%E3%81%8B%E3%82%89%E5%AD%A6%E3%81%B9%E3%81%A6%E3%80%81%E5%A5%BD%E3%81%8D%E3%81%AB%E3%81%AA%E3%82%8B%E5%BE%AE%E7%A9%8D%E5%85%A5%E9%96%80-%E5%A1%9A%E8%B6%8A-%E4%B8%80%E9%9B%84/dp/477411278X/

図解雑学わかる微分・積分(絶版だが入手可能)

http://www.amazon.co.jp/%E5%9B%B3%E8%A7%A3%E9%9B%91%E5%AD%A6-%E3%82%8F%E3%81%8B%E3%82%8B%E5%BE%AE%E5%88%86%E3%83%BB%E7%A9%8D%E5%88%86-%E5%9B%B3%E8%A7%A3%E9%9B%91%E5%AD%A6-%E7%B5%B5%E3%81%A8%E6%96%87%E7%AB%A0%E3%81%A7%E3%82%8F%E3%81%8B%E3%82%8A%E3%82%84%E3%81%99%E3%81%84-%E4%BB%8A%E9%87%8E-%E7%B4%80%E9%9B%84/dp/4816323600/

図解雑学三角関数

http://www.amazon.co.jp/%E5%9B%B3%E8%A7%A3%E9%9B%91%E5%AD%A6-%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0-%E5%9B%B3%E8%A7%A3%E9%9B%91%E5%AD%A6%E3%82%B7%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%82%BA-%E4%BD%90%E8%97%A4-%E6%95%8F%E6%98%8E/dp/4816333118/

図解雑学指数・対数

http://www.amazon.co.jp/%E6%8C%87%E6%95%B0%E3%83%BB%E5%AF%BE%E6%95%B0-%E5%9B%B3%E8%A7%A3%E9%9B%91%E5%AD%A6-%E4%BD%90%E8%97%A4-%E6%95%8F%E6%98%8E/dp/4816341935/

今回の微分方程式(単振動の運動方程式)は，今後も使われる重要な事項ですが，その気になれば半年で全くの初心者が完全にマスターできる程度の概念です．勉強していけば，数ヶ月でそれなりに効果が見えてきます．あきらめずに手を抜かずに地道にがんばってください．

Re: 微分方程式

う〜んさんのレス (2008/11/13(Thu) 17:49)

ヒロさんありがとうございます，参考に勉強させていただきます．私は理系科目が苦手だったにもかかわらずなぜか理系にいて，得意だった文系科目で点をとって受かったようなもので，概念的なものはほぼわかっていないのです．これから頑張りますね．

う〜ん，mNejiさんのいっていることは，両辺ともにt関数yがあるから微分して自身と関数的に同形になる三角関数使えばよい，尚正，余弦が相互に独立だから和によってすべての値をとれる，ということでよいのでしょうか？？わかりにくくて申し訳ないです・・あとこれが正しいなら三角関数とeの累乗はそれぞれどう使い分けるのでしょうか？関数的な同形性からいうならばどちらをつかってもよいということになりませんか？

・・・・・すみません，ちょっと疑問に思ったので最後の質問しましたが勉強した後でしろって感じですよね，教えてくれたらありがたいです．．