また，デルタ関数です．すみません．

また，デルタ関数です．すみません．

snow さんの書込 (2008/10/31(Fri) 19:09)

次の式が成り立つそんなんですが，どうしてかよくわかりません． \bigtriangleup(\frac{1}{r})=-4\pi\delta(r) 一様自分でも調べてみたけど，超関数？とかよくわかりませんでした． お願いします！！

Re: また，デルタ関数です．すみません．

toorisugari no Hiro さんのレス (2008/10/31(Fri) 19:25)

(1)ガウスの発散定理，ご存じですか? (2)(スカラー)ラプラシアンを \mathrm{grad},\mathrm{rot},\mathrm{div} で表すと? (3) r=|\bm{r}| として \mathrm{grad}\,(r) の値は? \mathrm{grad}\,(1/r) の値は? (4)球面における面積積分

&\oint_{|\bm{r}|=R_0} \left(\frac{1}{r^2}\right)\mathrm{d}S_{\bm{r}}

の値は? (5)球における体積積分

&\int_{|\bm{r}|<R_0} \triangle\left(\frac{1}{r}\right)\mathrm{d}V_{\bm{r}}\\&\int_{|\bm{r}|<R_0} \delta(\bm{r})\mathrm{d}V_{\bm{r}}\qquad(\delta(\bm{r})=\delta(x)\delta(y)\delta(z))

の値は?

(4)くらいまでは自力でやってきてくださいね．

# 記法に間違いがあったので修正しました．

Re: また，デルタ関数です．すみません．

snow さんのレス (2008/10/31(Fri) 19:54)

あぁ，ガウスの発散定理かぁ．えーと， &\int\triangle\left(\frac{1}{r}\right)\mathrm{d}V は立体角になりますね． だから， 4\pi で， \int\delta(r)dV=1 よって， \bigtriangleup(\frac{1}{r})=4\pi\delta(r) でいいのかな？ あれ？マイナスの符号が・・・．

Re: また，デルタ関数です．すみません．

toorisugari no Hiro さんのレス (2008/10/31(Fri) 20:00)

>あぁ，ガウスの発散定理かぁ．えーと， > &\int\triangle\left(\frac{1}{r}\right)\mathrm{d}V は立体角になりますね．

これは発散定理ではありません．

> あれ？マイナスの符号が・・・．

きちんと最初から計算しませんか?

Re: また，デルタ関数です．すみません．

snow さんのレス (2008/10/31(Fri) 20:15)

えーと， &\int\triangle\left(\frac{1}{r}\right)\mathrm{d}V=\int\bigtriangledown(\frac{1}{r})\cdot{\bf n}dS=\int\frac{{\bf r}\cdot{\bf n}}{r^{3}}dS 積分範囲が (-\infty,\infty) なので， \int\frac{{\bf r}\cdot{\bf n}}{r^{3}}dS=4\pi だと思ったのですけど・・・．

Re: また，デルタ関数です．すみません．

toorisugari no Hiro さんのレス (2008/11/01(Sat) 12:41)

> だと思ったのですけど・・・．

間違っています．

だから「きちんと最初から計算しませんか」?

Re: また，デルタ関数です．すみません．

snow さんのレス (2008/11/01(Sat) 13:31)

4\pi ではないですね．すみません．

\int_{r=R_0}\frac{{\bf r}\cdot{\bf n}}{r^{3}}dS_{\bm{r}}=\int_{r=R_0}(\frac{1}{r^2})dS_{\bm{r}}=\int_{r=R_0}\frac{1}{r^2}dr\int d\theta=\frac{-4\pi}{R_0} ここまであってますか？

Re: また，デルタ関数です．すみません．

toorisugari no Hiro さんのレス (2008/11/01(Sat) 14:24)

\oint_{r=R_0}\frac{1}{r^2}\mathrm{d}S_{\bm{r}} が何故負になるのでしょう．

予定調和(＝結論誘導)な考え方はやめた方がいいです．

\oint_{r=R_0}\mathrm{d}S_{\bm{r}} の値は求められますか?

Re: また，デルタ関数です．すみません．

snow さんのレス (2008/11/01(Sat) 14:57)

そうですね．どうも，予定調和な考え方をすぐしてしまいます． 悪い癖ですね．以後，気をつけます． えーと， \oint_{r=R_0}\mathrm{d}S_{\bm{r}} の値ですか・・・． よくわかりません．

Re: また，デルタ関数です．すみません．

toorisugari no Hiro さんのレス (2008/11/01(Sat) 15:19)

> よくわかりません．

．．．おーい，絵を描いてごらーん．．．

Re: また，デルタ関数です．すみません．

snow さんのレス (2008/11/01(Sat) 15:30)

え？絵ですか？ ・・・・． 球の表面積ってことですか？

Re: また，デルタ関数です．すみません．

toorisugari no Hiro さんのレス (2008/11/01(Sat) 15:36)

> 球の表面積ってことですか？

そういうことです． \oint_{|\bm{r}|=R_0}\mathrm{d}S_{\bm{r}} という式を日本語に変換できないと，球の表面積になることを実感できないとは思いますが．．．

で \oint_{|\bm{r}|=R_0}\frac{1}{|\bm{r}|^2}\mathrm{d}S_{\bm{r}} の値は? 式をよくみれば，変形できますね．

# 記法を変えました．

Re: また，デルタ関数です．すみません．

toorisugari no Hiro さんのレス (2008/11/04(Tue) 11:24)

> ん〜．ヒントください．

そろそろ気がつきましたか?

Re: また，デルタ関数です．すみません．

toorisugari no Hiro さんのレス (2008/11/05(Wed) 21:49)

> すみません．マジでわかりません．

|\bm{r}|=R_0 という式の意味がわかりますか? どういう図形を指しているのか分かりますか? \oint_{|\bm{r}|=R_0}\mathrm{d}S_{\bm{r}} の値は分かりますか?

Re: また，デルタ関数です．すみません．

snow さんのレス (2008/11/05(Wed) 23:51)

|\bm{r}|=R_0 は -R_0 から R_0 の範囲で積分するって意味では？

\oint_{|\bm{r}|=R_0}\mathrm{d}S_{\bm{r}}=4\pi R_0^{2} ではないでしょうか．

Re: また，デルタ関数です．すみません．

toorisugari no Hiro さんのレス (2008/11/06(Thu) 00:25)

> |\bm{r}|=R_0 は -R_0 から R_0 の範囲で積分するって意味では？

\bm{r} は位置ベクトルです． \bm{r}=(x,y,z) と置いたとき， |\bm{r}|^2=R_0^2 を x,y,z で書き換えてください． これはどういう図形を指しているのか分かりますか?

Re: また，デルタ関数です．すみません．

toorisugari no Hiro さんのレス (2008/11/06(Thu) 01:04)

> あー，半径 R_0 の球ってことですか？

．．．球でなく，球面です．．．(球は |\bm{r}|<R_0 )

ですから，

「 \oint_{|\bm{r}|=R_0}\mathrm{d}S_{\bm{r}} は， (閉曲面 |\bm{r}|=R_0 を複数の微小な領域に分割し，一つの領域の代表点を \bm{r}' とし( |\bm{r}'|=R_0 )，その領域の微小面積を \mathrm{d}S_{\bm{r}'} であらわすとして，) 閉曲面 |\bm{r}|=R_0 上のすべての微小面積を足し合わせたものである．」

と読みますが，これは半径 R_0 の球面の面積そのものです．

これは「表現」のための積分式であって，このままでは値を「計算」できません．値を求めたいときには適当な座標系を決めます．これは分割の仕方を指定することに等価です．直角座標系でも計算はできますが，極座標系で計算するのが普通です．

すると，半径 R_0 の球面上の緯度 \theta ，経度 \phi にある代表点を含む微小面積は， R_0\mathrm{d}\theta \times R_0 \sin\theta\mathrm{d}\phi と表せるので，

\oint_{|\bm{r}|=R_0}\mathrm{d}S_{\bm{r}} &= \int_{\theta=0}^{\pi}\int_{\phi=0}^{2\pi} R_0^2 \sin\theta\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi\\&= R_0^2 \int_{0}^{\pi}\sin\theta \mathrm{d}\theta~ \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\phi\\&= 4\pi R_0^2

となります．

さて， \oint_{|\bm{r}|=R_0}\frac{1}{|\bm{r}|^2}\mathrm{d}S_{\bm{r}} の値はもう分かりましたか?

Re: また，デルタ関数です．すみません．

toorisugari no Hiro さんのレス (2008/11/06(Thu) 01:37)

\oint_{|\bm{r}|=R_0}\frac{1}{|\bm{r}|^2}\mathrm{d}S_{\bm{r}}&= \oint_{|\bm{r}|=R_0}\frac{1}{R_0^2}\mathrm{d}S_{\bm{r}}\\&= \frac{1}{R_0^2} \oint_{|\bm{r}|=R_0}\mathrm{d}S_{\bm{r}}\\&= \frac{1}{R_0^2} 4\pi R_0^2

ですからね．

なお，

\mathrm{d}\Omega = \frac{1}{|\bm{r}|^2}\mathrm{d}S_{\bm{r}}

を立体角といい，

\oint\mathrm{d}\Omega = 4\pi

であるのはご存じですね．

次は， \mathrm{grad}(r) , \mathrm{grad}(1/r) を計算する番ですね．

Re: また，デルタ関数です．すみません．

toorisugari no Hiro さんのレス (2008/11/07(Fri) 00:11)

# もう飽きちゃったと思っていました．

> えーと，
>

> ですよね．

一番目は正解ですが，2番目は間違い．

Re: また，デルタ関数です．すみません．

snow さんのレス (2008/11/07(Fri) 00:47)

あ，マイナスを付け忘れてました．すみません．

Re: また，デルタ関数です．すみません．

toorisugari no Hiro さんのレス (2008/11/07(Fri) 00:53)

\mathrm{grad}f(g) &= \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}g}\mathrm{grad}g\\(1/r)' &= -1/r^2

は大丈夫ですね．

じゃあ，改めて，

\int_{|\bm{r}|<R_0} \triangle \left(\frac{1}{|\bm{r}|}\right)\mathrm{d}V_{\bm{r}}

を順を追って変形してみてください．

Re: また，デルタ関数です．すみません．

toorisugari no Hiro さんのレス (2008/11/07(Fri) 01:31)

あってます． これと，

\int_{|\bm{r}|< R_0} \delta(\bm{r})\mathrm{d}V_{\bm{r}} = 1

を組み合わせると，目標の

\triangle \frac{1}{|\bm{r}|} &= -4\pi \delta(\bm{r})

がえられますね．(厳密には，原点が球の外にある場合も考えなければいけないのですが，略．)

ご苦労様です．

Re: また，デルタ関数です．すみません．

snow さんのレス (2008/11/07(Fri) 01:34)

ありがとうございました． 長い間迷惑をかけてすみませんでした．