一次元の調和振動子

一次元の調和振動子

snow さんの書込 (2008/10/05(Sun) 17:09)

一次元の調和振動子のシュレーディンガー方程式を変形して

\frac{d^2\psi}{d\xi^2}+(\varepsilon-\xi^2)\psi=0

となった後に \varepsilon が小さいので無視して， \psi は漸近的に exp(\pm \frac{1}{2} \xi^2) の解を持つらしいのですが，その理由がわかりません． 普通に解くと \psi は exp(\pm\xi) を解に持つのでは・・・．

Re: 一次元の調和振動子

なんとなく さんのレス (2008/10/05(Sun) 18:25)

勘違いでしょう．ε<<1として無視すると， d^2ψ/dξ^2-ξ^2ψ=0・・・? ですが，ξは（従属）変数であり，定数ではありません．exp(±1/2ξ^2)は代入してみれば，解であることが分かります（一方，exp(±ξ)は解ではありません）． >普通に解く・・・は，線形微分方程式の解法（公式）のことでしょうが，?は非線形ですので，公式は使えません．

Re: 一次元の調和振動子

snow さんのレス (2008/10/05(Sun) 18:54)

あ，本当だ． あほな質問してすみません．

Re: 一次元の調和振動子

toorisugari no Hiro さんのレス (2008/10/06(Mon) 12:29)

> exp(±1/2ξ^2)は代入してみれば，解であることが分かります

\psi=\exp(-\xi^2/2) に対して，一階微分は \frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}\xi}=-\xi \exp(-\xi^2/2) ですが，二階微分は \frac{\mathrm{d}^2\psi}{\mathrm{d}\xi^2}=(-1+\xi^2) \exp(-\xi^2/2)=(-1+\xi^2)\psi となり，解にはなりません．

しかし，遠方では (-1+\xi^2)\psi \to \xi^2\psi と見なせるので，

\frac{\mathrm{d}^2\psi}{\mathrm{d}\xi^2}-\xi^2\psi=0

は漸近的に exp(\pm \frac{1}{2} \xi^2) の解を持つといえます．

Re: 一次元の調和振動子

なんとなく さんのレス (2008/10/06(Mon) 21:55)

>Hiroさん

いや，これはそのとおり，漸近解とすべきでしたね． フォローを有難うございます．