ばねの問題です．　教えてください

リリーさんの書込 (2008/09/05(Fri) 03:18)

大学１年のりりーです．ばねの問題ですが，教科書などで調べたのですがいまいち解き方がわかりませんでした．問題は，質量ｍ，ばね定数ｋの２つのばね振り子をばね定数ｋ’のばねでつなぐｔ＝０の時，x1=a, x2=0,] ・・ｘ１＝ｘ２＝０として，２個のおもりの運動を調べろ．ただし摩擦や空気抵抗は考えなくてよい．図は壁の両端にばね定数ｋのばねがある感じです．壁ーばね（ばね定数ｋ）−おもりｍ−ばね（ばね定数ｋ’）−おもりｍ−ばね（ｋ）−壁のようになっています．という問題なんですが，解き方考え方がまったくわかりません．具体的に教えていただけたらとてもありがたいです．よろしくお願いします．

Re: ばねの問題です．　教えてください

DIO さんのレス (2008/09/06(Sat) 11:38)

左右に揺らすのでしょうか??そうだとすると運動方程式は

$m\frac{d^2x_1}{dt^2} = -kx_1-k(x_1-x_2) \qquad (1) \\m\frac{d^2x_2}{dr^2} = -kx_2-k(x_2-x_1) \qquad (2)$

(1)+(2),(1)-(2)より

$m\frac{d^2}{dt^2}(x_1+x_2) = -k(x_1+x_2) \\m\frac{d^2}{dt^2}(x_1-x_2) = -3k(x_1-x_2)$

これを解くいて連立させれば， x_1(t),x_2(t) が出ます

Re: ばねの問題です．　教えてください

リリーさんのレス (2008/09/06(Sat) 14:36)

DIOさんありがとうございます．左右に揺らすのかわからないんですが，おもりの運動を調べるというのはどのように考えたらわかりやすくなりますか？

Re: ばねの問題です．　教えてください

DIO さんのレス (2008/09/06(Sat) 15:51)

結局，左右に揺らしても上下に揺らしても，運動の様子は同じようになると思うのでどちらでも良いのかも知れません．

問題で問われている，運動を調べよと言うのは x_1,x_2 をの関数として求めよという事だと思います．

具体的に x_1,x_2 を解いてみると $A_1,A_2,\delta_1,\delta_2$ を任意定数として

$x_1 = A_1\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t+\delta_1) + A_2\cos(\sqrt{\frac{3k}{m}}t+\delta_2) \\x_2 = A_1\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t+\delta_1) - A_2\cos(\sqrt{\frac{3k}{m}}t+\delta_2)$

となります．この時 A_1=0 と時と A_2=0 の時は x_1,x_2 は互いに振動数の等しい単振動をします．この特殊な運動の形をノーマルモードと言い，一般解はノーマルモードの重ね合わせで表されます． A_1=0 というのは t=0 で x_1,x_2 を反対方向に同じだけずらして離したときに生じる運動で， A_2=0 というのは t=0 で x_1,x_2 を同方向に同じだけずらして離したときに生じる運動です．これらの運動はイメージしやすいかと思います．一般的にノーマルモードは自由度の数だけ存在します．この問題は自由度が2すので，ノーマルモードが2つあったわけです．自由度がもっと多くなったときはこの事を使って解くのが良いかと思います．つまり，運動方程式を立ててやった後に，それぞれの変位が単振動の型だとして特殊界を見つけてやり，その重ね合わせとして一般解を導くのです．