抵抗力のある落下運動の問題について

ユーテーさんの書込 (2008/08/15(Fri) 02:49)

高専4年です．物理学の課題の，「質量mの物体が速度vに比例する抵抗力-kvを受けつつ落下運動をした結果，時間tで距離y移動した．抵抗係数と質量の比k/mを求めよ．ただし，初期位置0,初速度0,重力加速度をgとする．」という問題で，k/mを求めるところの途中ででつまづいてしまいました． $ya^{2}-gta-e^{-at}+1=0$ ( $a=\frac{k}{m}$ ) 上式を"a=＿"の形にしたいのですがどうすれば良いかわかりません．求め方が間違っているかも知れないので申し訳ないです．ヒントだけでも教えていただければ幸いです．よろしくお願いいたします．

Re: 抵抗力のある落下運動の問題について

mNeji さんのレス (2008/08/15(Fri) 12:37)

ユーテーさん，初めまして．

お示しの式は次元に不一致が見られます．一度，運動方程式を示して，得られた解とともに示されないと，どこで困っているのか解り難いと思います．また，座標系の取り方も明確にしておく方が良いですね．

Re: 抵抗力のある落下運動の問題について

ユーテーさんのレス (2008/08/15(Fri) 21:38)

運動方程式は， $m\frac{dv}{dt}=-kv+mg$ で，これをv(t)について解いたら， $v=\frac{mg}{k}(1-e^{-\frac{kt}{m}})$ となりました．ここで，vを時間積分して落下距離y(t)を求めたら， $y=\frac{mg}{k}\{t+\frac{m}{k}(e^{-\frac{kt}{m}}-1)\}$ となりました． y,t,gがわかっているので，それを使って $\frac{k}{m}$ の式に直そうとしているのが初めの質問で聞いているところです．上手く説明できなくて申し訳ないです．．

Re: 抵抗力のある落下運動の問題について

mNeji さんのレス (2008/08/15(Fri) 23:40)

簡単な問題の時こそ，ケアレス・ミスに注意しましょう．そういう私でさえ，よくするのですが...．

垂直軸の下向きにy座標を取ったとすれば，運動方程式は合っていると思います．すると，辺々をmで割ると， $\frac{dv}{dt}=-\frac{k}{m}v+g$ ですね．

ここで，定数項 $\frac{k}{m}$ は時間の逆数の次元を持っているので $\frac{1}{\tau}$ とします．

とすると，変数分離形にできる；

$\frac{\mathrm{d}v}{v-g\tau}=-\frac{\mathrm{d}t}{\tau}$

ここで，辺々は無次元であることに注意しましょう．これから先は，ご自分でチェックしてください．

数学の問題だと無次元の場合が多いと思いますが，物理の運動方程式では次元があります．出来るだけ，直感的な常数を定義しておくと，式の変形中に「次元チェック」が出来ます．面倒でも，順番に見返す癖をつけておくと良いと思います．

で，正しい解が出たとして，指数関数部分が線形で無い為に話が複雑になります．そこで，t<τとかt>τとかで場合分けして検討出来ませんか？

Re: 抵抗力のある落下運動の問題について

mNeji さんのレス (2008/08/16(Sat) 08:38)

微分方程式を解かないで，ケアレス・ミスと申し上げました事をお詫びします．問題は，最後まで計算しないといけません：→自分．

さて，本論に戻ります．あるtとyとの組の値が判るという事は，あるtとvとの組の値も判ることですね．同様にdv/dtも判るわけです．とすると，時間をパラメータにして， $(\dot v(t), v(t))$ のグラフを書けば，その傾きから $\frac{-1}{\tau}$ を決めることができます．解析的な方法ではありませんが...．