浮力による単振動について

wataru さんの書込 (2008/08/06(Wed) 10:11)

水中に円柱を浮かせると，水面から深さｈの時点でつり合ったとします．（摩擦などの類は一切ないものとします）そのつりあい点から，微小変化させると単振動が起きるそうですが，ではもし微小変化ではない場合だったら単振動は起きないのですが？（例えば1mの円柱をつりあい点から100mほど下に押し下げたり）

単振り子の周期の公式T=2π√l/gも，つり合い点からの微小変化が前提ですよねそれと同じようなものでしょうかどなたか教えてください，お願いします

単振動が起きるのは，変位に比例する復元力がはたらく場合です．水に浮かべた円柱にはたらく復元力は，重力と浮力との合力です．円柱の長さより深く押し下げたときの復元力が変位に比例するかどうか考えてみてください．

すいませんちょっとよく分かりません…

長さＬの円柱を用意して，「図１のとき，浮き全体が水中から飛び出さないためには，浮きの質量ｍはある値ｍ2より大きくなければならない．その値を求めよ」という問題で，

解答では「単振動の振幅はＬ−Ｈなので，Ｌ−Ｈ＜Ｈであればよい．よってＨ＝ｍ/ρＳ＞Ｌ/２．これよりｍ＞ρＳＬ/２，よってｍ2＝ρSL/２」とありました．

次に「円柱の上面が水面から深さＬに達するまで深く沈めてから静かに手を離したとき，浮き全体が水中から飛び出さないためには，浮きの質量ｍはある値ｍ3より大きくなければならない．その値を求めよ」という問題があったのですが，先の問題と似ていたので私は

「振幅は２Ｌ−Ｈであり，２Ｌ−Ｈ＜Ｈであればよい．よってＨ＝ｍ/ρＳ＞Ｌ．これよりｍ＞ρＳＬ，よってｍ3＝ρＳＬ．」としたのですが，解答では力学的エネルギーを用いており，値も違っていました．

解答の内容はどちらも理解できたのですが，なぜ図１の場合と図２の場合で解き方が違うのかが理解できません．

円柱の上面が水面から深さＬに達するまで深く沈めてから静かに手を離したときの運動は単振動にはなりません．深さによって浮力がどのように変化するかを考えれば分かると思います．

単振動にならないのですか？水面を原点Ｏとして鉛直下向きにx軸をとると運動方程式は ma=mg-ρSxg

また，mg=ρShgなので，

ma=-ρShg(x-h)

これはx=hを中心に単振動するってことですよね？

円柱の一部が水面上に出ている場合はその式が成り立ちますが，円柱全体が水中にある場合はその式は成り立ちません．円柱全体が水中にあるときの浮力は深さに関係なく一定になるからです．

あーそうか！分かりましたありがとうございます！