量子力学

apple さんの書込 (2008/07/31(Thu) 23:08)

（問題）自由空間（真空中）を質量ｍ，電荷‐e(e>0)を持った電子が一定速度ｖで運動する場合，この電子のもつ波長は，ド・ブローイの量子条件λ＝h/pより与えられる．ここで，pは運動量，hはプランク定数である．電子の波長λと運動エネルギーEの関係を式で表せ．

（自分の考え） E=(1/2)mv^2=p^2/2m λ=h/pより E=h^2/2mλ^2

となったのですが，これでは間違っているらしいです．なぜこれではいけないのでしょうか？？（粒子性と波動性をごっちゃにしているのがいけないのかな・・・）

回答よろしくお願いします．

Re: 量子力学

mNeji さんのレス (2008/08/01(Fri) 00:10)

appleさん，初めまして．

前期量子論の場合では運動量pは演算子でないので，ご提示された，

$E=\frac{h^2}{2m\lambda^2}$

でも間違えではないと思います．

ただ，電磁気などの波動では，例えば，x軸に進行している波を波数k，振動の角振動数ωで表す；

$\psi(x,t)=\mathrm{e}^{kx-\omega t}$

と書く事が多いので，波長 $\lambda$ より，

$k\lambda = 2\pi$

の関係から，波数で表す事が多いとおもいます．従って，

$E &= \frac{h^2}{2m \lambda^2 }\\&= \frac{h^2}{2m}\left(\frac{k}{2\pi}\right)^2\\&= \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$

ここで， $\hbar:=\frac{h}{2\pi}$ で,しばし「エイチ・バー」と読まれます．

私見ですが，分子にくるパラメータの方が，直感的だからだと思います．

Re: 量子力学

apple さんのレス (2008/08/01(Fri) 00:33)

mNejiさん，回答ありがとうございます．

ずっと前から，気になっていることがあるのですが，E=ch/λを式変形しても，上の式になりませんが，どうしてでしょうか？

Re: 量子力学

mNeji さんのレス (2008/08/01(Fri) 00:51)

＞E=ch/λを式変形しても，

光子の話と混線していませんか？

Re: 量子力学

なんとなくさんのレス (2008/08/01(Fri) 11:50)

横レス失礼します．

mNejiさんが仰っていますが，p=ch/λは光子（電磁波）の波長と運動量の関係式です．ド・ブロイ波長は物質（粒子）の波動性を仮定したものですが，物質とは（静止）質量が０でないという特徴があります．相対論ではエネルギーEは E^2=c^2p^2+m^2c^4 の関係があるため，（光子などの）質量０（の素粒子）ではE=cp=ch/λです．逆に物質粒子ではm≠0のために，全エネルギーは通常は運動量pに比較して，質量の効果がずば抜けて大きく（言い換えれば速度v<<c)，運動エネルギー部分の近似式， E=p^2/2m が使えます．もし，答えが間違いであるというなら，運動量の（特殊）相対論的な表示 p=vE/c^2 を使えということかも知れませんね．大雑把に言えばｖが光速の10％くらいになると，相対論的効果が無視できなくなると思います．蛇足ですが，電子の速度は容易く，そのくらいになります．

Re: 量子力学

apple さんのレス (2008/08/01(Fri) 22:26)

>>なんとなくさん

回答ありがとうございます．すっきりしました．

Re: 量子力学

mNeji さんのレス (2008/08/02(Sat) 00:37)

もう納得された様ですが，光子について少し変形して見ましょう．

$E &= \frac{ch}{\lambda}\\&= h\frac{c}{\lambda}\\&= h\frac{1}{T}\\&= h\frac{\omega}{2\pi}\\&= \hbar \omega$

光子エネルギーの角振動数表示といった所ですかね．エネルギーが高くなると $\omega$ も大きくなりますね．

Re: 量子力学

yama さんのレス (2008/08/02(Sat) 00:56)

横から失礼します．エネルギーと振動数の関係 $E=h\nu$ および運動量と波長の関係 $p=h/\lambda$ は，光子についても電子についても共通に成り立ちます．しかし，速度との関係を考える場合は，粒子の速度と波の速度を区別する必要がありますし，波の速度にも２種類あることに注意する必要があります．